Sumatorio

Sumatorio
Instancia de operação binária iterada (pt)  Subclase de soma ponderada (pt) resultado da operación total  Parte de matemáticas suma  Composto por índice (pt) función Sigma  Epónimo Sigma
Instrución TeX \sum
Fórmula $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}$ (sumatorio)
Características  Uso matemáticas cálculo infinitesimal
Implicados  Inventor/a ou descubridor/a Leonhard Euler
Códigos e identificadores Freebase /m/01km84 e /m/03m5n10 MathWorld Sum
Fontes e ligazóns  Descrito pola fonte The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, 3rd edition pp. 27-39 ISO 80000-2:2019 Khan Academy
Wikidata C:Commons

En matemáticas, o sumatorio ${\Big (}\sum {\Big )}$ é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo,

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Notación

O símbolo do sumatorio

A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$.

Onde i é o índice da suma; a_i é unha variable indexada que representa cada termo da suma; m é o índice inferior da suma e n é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número m ata o elmento número n indo o índice aumentando dun en un.

Isto lese como "suma de a_i, de i igual a m ata i igual a n".

Un exemplo que mostra a suma dalgúns cadrados consecutivos:

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$

E outro exemplo é a suma dos primeiros n números da secuencia de Fibonacci

$\sum _{i=0}^{n}f_{i}=f_{n+2}-1.$

Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n. Por exemplo, pódese escribir que:

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.$

Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$.

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$ é a suma de $f(x)$ sobre todos os elementos $x$ no conxunto $S$.

$\sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)$ é a suma de $\mu (d)$ sobre todos os números enteiros positivos $d$ que dividen $n$.

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

$\sum _{i,j}$ é o mesmo que $\sum _{i}\sum _{j}.$

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando ${\textstyle \prod }$, que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como:

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n}a_{i}.$

Cálculo de diferenzas finitas

Dada unha función f que se define sobre os enteiros do intervalo [m, n], cúmprese a seguinte ecuación:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).$

Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

$f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,$ onde

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ é a derivada de f.

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).$

Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.$

A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza $\Delta$, definido por:

$\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),$

onde f é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función f, o problema é calcular a antidiferenza de f, unha función $F=\Delta ^{-1}f$ tal que $\Delta F=f$. É dicir, $F(n+1)-F(n)=f(n).$ Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).$

Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que $f(n)=n^{k}$ e, por linearidade, para cada función polinómica de n.

Aproximación por integrais definidas

Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.$

e para calquera función decrecente f:

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.$

Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,$

xa que o lado dereito é por definición o límite para $n\to \infty$ do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

Identidades

As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

Identidades xerais

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad$ (distributiva).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad$ (conmutativa e asociativa).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad$ (desprazamento do índice).

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad$ (bixección σ dun conxunto finito A nun conxunto B, mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad$ (subdividir unha suma, usando asociatividade).

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad$ (outra variante da anterior).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)$.

$\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)$.

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad$ (conmutatividade e asociatividade).

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad$ (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).

$\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad$ (subdividir o sumatorio en índices pares e impares).

$\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad$ (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).

${\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad$ (distributiva).

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad$ (A distributividade permite a factorización).

$\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)$.

$C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}$.

$\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad$ para calquera función ${\textstyle f}$ de ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

Potencias e logaritmo das progresións aritméticas

$\sum _{i=1}^{n}c=nc\quad$ para todo c que non depende de i.

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$.

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad$ (Suma dos primeiros números naturais impares).

$\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad$ (Suma dos primeiros números naturais pares).

$\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad$ (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$.

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad$ (Teorema de Nicómaco)

Índice do sumatorio en expoñentes

Nos seguintes sumatorios, asúmese que a é diferente de 1.

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ (suma dunha progresión xeométrica).

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ (caso especial para a = 1/2).

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}$ (a veces a derivada en relación a a da progresión xeométrica).

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}$

(suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

Coeficientes binomiais e factoriais

Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

Implicando o teorema do binomio

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},$ o teorema do binomio.

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},$ caso especial onde a = b = 1.

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1$, o caso especial onde p = a = 1 − b, que, para $0\leq p\leq 1,$ expresa a suma da distribución binomial.

$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),$ o valor en a = b = 1 da derivada con respecto a a do teorema do binomio.

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},$ o valor en a = b = 1 da antiderivada con respecto a a do teorema do binomio.

Implicando números de permutación

Nos seguintes sumatorios, ${}_{n}P_{k}$ é o número de k-permutacións de n.

$\sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$, onde e $\lfloor x\rfloor$ denota a función chan.

Outros

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}$

$\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}$

Números harmónicos

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad$ (o n-ésimo número harmónico )

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad$ (o número harmónico xeneralizado)

Véxase tamén

Bibliografía

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8. 

Outros artigos

• Notación pi maiúscula.
• Sumatorio por partes