Función continua

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, unha función continua é aquela para a que, intuitivamente, para puntos próximos do dominio prodúcense pequenas variacións nos valores da función; aínda que en rigor, nun espazo métrico significa o contrario, que pequenas variacións da función implican que deben estar próximos os puntos. Se a función non é continua, dise que é descontinua. Unha función continua de en é aquela cunha gráfica que pode debuxarse sen levantar o lapis do papel (máis formalmente a súa gráfica é un conxunto conexo).

A continuidade de funcións é un dos conceptos principais da análise matemática e da topoloxía.

Historia[editar | editar a fonte]

Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definiu a continuidade de como segue: un incremento infinitamente pequeno da variable independente x sempre produce un cambio infinitamente pequeno da variable dependente y. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e continuidade uniforme foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano,[1] Karl Weierstrass[2] negou a continuidade dunha función nun punto c a menos que estivese definida a ambos os lados de c, mais Édouard Goursat[3] permitía que unha función estivese definida só nun lado de c, e Camille Jordan[4] incluso se a función estaba definida só no punto c. Todas estas definicións non equivalentes de continuidade nun punto aínda se empregan.[5]

Eduard Heine achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1854.[6]

Funcións reais dunha variable real[editar | editar a fonte]

Función Continua 011.svg

Informalmente falando, unha función f definida sobre un intervalo I é continua se a curva que a representa, é dicir o conxunto dos puntos (x, f(x)), con x en I, está constituída por un trazo continuo, é dicir un trazo que non está roto, nin ten "ocos" nin "saltos", como na figura da dereita.

O intervalo I de x é o dominio de definición de f, definido como o conxunto dos valores de x para os cales existe f(x).

O intervalo J de y é o rango (tamén coñecido como imaxe) de f, o conxunto dos valores de y, tomados como y = f(x). Escríbese J = f(I). Notar que en xeral, non é igual que o codominio (só é igual se a función é sobrexectiva.)

O maior elemento de J chámase o máximo absoluto de f en I, e o menor valor de J é o seu mínimo absoluto no dominio I.

Continuidade dunha función nun punto[editar | editar a fonte]

Función Continua 014.svg

Unha función f é continua nun punto x0 no dominio da función se:

tal que para toda x no dominio da función:

Isto pódese escribir en termos de límites da seguinte maneira: Se x0 é punto de acumulación do dominio da función entón é continua en x0 se e só se . Cando x0 non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.

No caso das aplicacións de en , e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función f é continua nun punto x1 se existe f(x1), se existe o límite de f(x) cando x tende a x1 pola dereita, se existe o límite de (x) cando x tende a x1 pola esquerda, e ademais ambos coinciden con f(x1).[7]

Así pois, unha función f continua no punto x1 implica o seguinte: 1. Existe o límite pola dereita:

2. Existe o límite pola esquerda:

3. A función ten límite pola dereita e pola esquerda do punto x1

4. O límite pola dereita e o límite pola esquerda coinciden:

5. Se existen o límite pola dereita e pola esquerda e os seus valores coinciden, a función ten límite neste punto:

6. Existe f(x1):

7. O límite e o valor da función coinciden:

A función é continua nese punto. Unha función é continua nun intervalo se é continua en todos os seus puntos.

Función Continua 022.svg

Se f(x1)= y1, a continuidade en x1 exprésase así:

Parafraseando, cando x se aproxima a x1, f(x) aproxímase a y1. Por definición dos límites, isto significa que para todo intervalo aberto J, centrado en y1, existe un intervalo aberto I, centrado en x1, tal que .

Se f ten un salto no punto, o teorema non se cumpre. En efecto, non todo intervalo I ao redor de x1 ten a súa imaxe nun intervalo J centrado en y1, cun raio inferior ao salto de f; non importa o pequeno que este intervalo sexa, hai valores de x do intervalo I ao redor de x1 que ten a súa imaxe nun intervalo K centrado en y2, sendo y1 e y2 valores distintos, isto é: x ten imaxes que saen de J.

A vantaxe desta definición é que se xeneraliza a calquera espazo topolóxico.

Continuidade lateral[editar | editar a fonte]

Función Continua 024.svg

Unha función f é continua pola esquerda no punto se o límite lateral pola esquerda e o valor da función no punto son iguais. É dicir:

como na figura.

Unha función f é continua pola dereita no punto se o seu límite lateral pola dereita e o valor da función no punto son iguais. É dicir:

Unha función f é continua nun punto se é continua pola esquerda e é continua pola dereita. Isto é:

Continuidade dunha función nun intervalo aberto: (a, b)[editar | editar a fonte]

Un valor c pertence a un intervalo aberto I, de extremo esquerdo a e extremo dereito b, representado I= (a, b) se:

Unha función f é continua nun intervalo aberto I= (a, b), se e só se a función é continua en todos os puntos do intervalo, é dicir:

Continuidade dunha función nun intervalo pechado: [a, b][editar | editar a fonte]

Un valor c pertence a un intervalo pechado I, de extremo esquerdo a e extremo dereito b, representado I= [a, b] se:

Unha función f é continua nun intervalo pechado [a, b] se a función é continua no intervalo aberto (a, b) e é continua pola dereita da e continua pola esquerda de b:

Algunhas funcións continuas importantes[editar | editar a fonte]

Funcións seno e coseno.

As funcións polinómicas, trigonométricas: seno e coseno, as exponenciais e as logarítmicas son continuas nos seus respectivos dominios de definición.

A parábola, como función polinómica, é un exemplo de función continua ao longo de todo o dominio real.

Na gráfica vese a función seno que é periódica, limitada e continua en todo o domino real. Dado o seu carácter periódico, con ver un só dos ciclos é suficiente para comprobar a continuidade, porque o resto dos ciclos son exactamente iguais.

Funcións definidas por intervalos[editar | editar a fonte]

Función Continua 050.svg

As funcións definidas para distintos intervalos de x poden ser descontinuas nos puntos de cambio de intervalo, por exemplo:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

A súa gráfica é unha sucesión de segmentos horizontais a distintas alturas. Esta función non é continua nos enteiros, pois os límites á esquerda e á dereita difiren dun, pero é continua nos segmentos abertos (n, n+1) onde é constante.

Función racional[editar | editar a fonte]

Función Continua 033.svg

As funcións racionais son continuas nun intervalo axeitado. Un exemplo disto é a función inverso de x:

Esta función é unha hipérbola composta por dous tramos. x < 0 e x > 0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o dominio porque non está definida en x= 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a f(0)) a función será descontinua.[8])

Teoremas sobre funcións continuas[editar | editar a fonte]

Estes son algúns dos teoremas máis importantes sobre funcións continuas.

  1. Teorema de Weierstrass: Se f é continua en entón presenta máximos e mínimos absolutos.
  2. Teorema de Bolzano: Se f é continua en e , entón tal que .
  3. Teorema do valor intermedio: Se f é continua en e entón tal que .

Anotación: Se f é unha función sobre un conxunto compacto entón, a función ten un máximo ou un mínimo. Sobre un conxunto aberto tense o seguinte contraexemplo: a función é continua sobre pero non é limitada.

Derivabilidade e continuidade[editar | editar a fonte]

As funcións derivables son continuas. Se unha función é derivable en x=a entón é continua en x=a. De modo que a continuidade é unha condición necesaria para a derivabilidade. É dicir, o conxunto das funcións derivables é parte das funcións continuas.

Cómpre notar que o recíproco non é válido; é dicir que nada se pode afirmar sobre a derivabilidade dunha función continua. Un exemplo claro desta situación é a función valor absoluto f(x)= |x| que aínda que é continua en todo o seu dominio non é derivable en x=0. Mesmo hai funcións continuas en todo ℝ pero non derivables en ningún punto (as funcións do movemento browniano verifican isto con probabilidade 1).

Clase de continuidade[editar | editar a fonte]

Unha función , dise que:

  • é de clase cando é continua en todo o dominio
  • é de clase se está definida en todo o dominio xunto coas súas derivadas até orde e todas elas son continuas.
  • é de clase se ten derivadas continuas de calquera orde. As funcións deste tipo non son nercesariamente analíticas.
  • é de clase se é a derivada no sentido das distribucións dunha función de clase .
  • Unha función xeneralizada dise de clase se é a derivada k-ésima no sentido das distribucións dunha función de clase .

Calquera función polinómica dunha variable é unha función de clase . A función xeneralizada denominada delta de Dirac é unha función de clase xa que é a derivada segunda da función rampla que é continua, e a derivada primeira da función en esqueira de Heaviside que é de clase

Pódense dar exemplos que mostran que hai funcións de clase que non son de clase . Os exemplos clásicos son .

Funcións continuas en espazos topolóxicos[editar | editar a fonte]

Sexan e dous espazos topolóxicos. Unha aplicación dise que é continua se é un aberto de , calquera que sexa o aberto de . Esta é a continudade vista globalmente, a que segue é a continuidade nun punto do dominio.

Esta definición redúcese á definición ordinaria de continuidade dunha función se sobre e se considera a topoloxía inducida pola distancia euclidiana.

Coa mesma notación anterior, se , dise que é continua en cando se obtén que é unha veciñanza de , calquera que sexa a veciñanza de .

É inmediato entón comprobar que é continua se e só se é continua en , calquera que sexa este, é dicir, cando sexa continua en cada un dos puntos do seu dominio.

Funcións continuas sobre os números ordinais[editar | editar a fonte]

O termo función continua na parte da teoría de conxuntos que se refire aos números ordinais ten un sentido diferente ao referido ás funcións sobre espazos topolóxicos. Concretamente unha función F definida sobre a clase dos números ordinais é continua se para cada ordinal límite γ se cumpre a seguinte propiedade:


Notas[editar | editar a fonte]

  1. Bolzano, Bernard (1817). Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege. Prague: Haase. 
  2. Dugac, Pierre (1973). Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass. Archive for History of Exact Sciences 10. pp. 41–176. doi:10.1007/bf00343406. 
  3. Goursat, E. (1904). A course in mathematical analysis. Boston: Ginn. p. 2. 
  4. Jordan, M.C. (1893). Cours d'analyse de l'École polytechnique 1 (2nd ed.). Paris: Gauthier-Villars. p. 46. 
  5. Harper, J.F. (2016). Defining continuity of real functions of real variables. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. pp. 1–16. doi:10.1080/17498430.2015.1116053. 
  6. Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). Bolzano and uniform continuity. Historia Mathematica 32. pp. 303–311. doi:10.1016/j.hm.2004.11.003. 
  7. Lang, Serge (1997). Undergraduate analysis. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94841-6. , section II.4
  8. Speck, Jared (2014). "Continuity and Discontinuity" (PDF). MIT Math. p. 3. Consultado o 2-9-2016. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Serge Lang (1990): Introdución al análisis Matemático , Wilmington Delaware.
  • James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]