Mecánica clásica

Un problema típico da mecánica clásica: a análise do movemento dun proxectil.

A mecánica clásica é unha teoría física que describe o movemento de corpos macroscópicos, os cales van desde partes dunha maquinaria a proxectiles, naves espaciais e obxectos astronómicos, como planetas, estrelas e galaxias. Se se coñece o estado presente dun destes obxectos gobernados pola mecánica clásica, pódese predicir como se moverá no futuro (determinismo) e como se moveu no pasado (reversibilidade). A mecánica clásica subdivídese nas ramas da estática, que trata con obxectos en equilibrio (obxectos que se consideran nun sistema de referencia no que están parados) e a dinámica, que trata con obxectos que non están en equilibrio (obxectos en movemento).

Os comezos da mecánica clásica sitúanse no século XVII, cando Newton, Leibniz e outros empregaron conceptos físicos e idearon métodos matemáticos para describir o movemento de corpos baixo a influencia dun sistema de forzas. Adoita chamarlle mecánica newtoniana a estes primeiros estadios da mecánica clásica. Posteriormente desenvolvéronse métodos máis abstractos, que levaron a reformulacións da mecánica clásica coñecidas como mecánica lagranxiana e mecánica hamiltoniana. Estes avances, feitos principalmente no séculos XVIII e XIX, estenderon substancialmente o traballo de Newton, particularmente a través do uso que fixeron da mecánica analítica. Estas mecánicas, con algunhas modificacións, seguen usándose en todas as áreas da física moderna.

A mecánica clásica reduce o seu estudo ó dominio da experiencia diaria, quer dicir, con eventos que vemos ou palpamos cos nosos sentidos, e proporciona resultados dunha gran precisión cando se estudan obxectos non excesivamente masivos e con velocidades que non se aproximan á da luz. Aínda sendo unha aproximación, é moi útil pois é moito máis doada de comprender, moito máis sinxela de computar matematicamente e, por conseguinte, máis doada de aplicar, sendo válida dabondo para a gran maioría de casos prácticos nunha gran cantidade de sistemas. A teoría, por exemplo, describe con grande exactitude sistemas como foguetes, planetas, moléculas orgánicas, trompos, trens, e tamén a traxectoria parabólica de obxectos como un proxectil ou unha pelota de fútbol.

Cando os obxectos a examinar teñen un tamaño semellante ao do diámetro dun átomo, faise necesario introducir outro subcampo da mecánica, a mecánica cuántica. Para describir velocidades que non son pequenas comparadas coa velocidade da luz necesítase a relatividade especial. En casos onde os obxectos chegan a ser extremadamente masivos, aplícase a relatividade xeral. En sistemas de escala semellante á atómica con velocidades relativamente próximas á da luz, aplícase a teoría cuántica de campos. Porén, un certo número de fontes modernas inclúen as mecánicas relativistas na física clásica, xa que, ao seu xuízo, representan a mecánica clásica na súa forma máis desenvolvida e precisa

A mecánica clásica é amplamente compatible con outras teorías clásicas como o electromagnetismo e a termodinámica, tamén "clásicas" (estas teorías teñen tamén o seu correspondente cuántico).

Descrición da teoría

Posición e as súas derivadas

Diagrama que representa o movemento orbital dun satélite artificial ao redor da Terra mostrando os vectores perpendiculares da velocidade e a aceleración.

A posición dunha partícula puntual defínese en relación a un sistema de coordenadas centrado nun punto de referencia fixo arbitrario no espazo chamado orixe O. Un sistema de coordenadas simple pode describir a posición dunha partícula P cun vector denotado por unha frecha etiquetada $\ {\vec {r}}$ que une a orixe O co o punto P. En xeral, a partícula puntual non necesita ser estacionaria en relación a O. Nos casos en que P se move en relación a O, $\ {\vec {r}}$ defínese como unha función de t, o tempo, é dicir, $\ {\vec {r}}$(t). Na relatividade anterior a Einstein (coñecida como relatividade galileana), o tempo considérase absoluto, é dicir, o intervalo de tempo que se observa que transcorre entre calquera par de eventos é o mesmo para todos os observadores. Ademais de confiar no tempo absoluto, a mecánica clásica asume a xeometría euclidiana para a estrutura do espazo.

A posición indícanos o lugar do obxecto que estamos analizando. Se tal obxecto muda de lugar, a función r describe o novo lugar que ocupa o obxecto. Estas cantidades r, v, e a poden ser descritas aproximadamente, é dicir sen usar cálculo diferencial, mais os resultados son só aproximados pois todas estas funcións e cantidades están definidas de acordo co cálculo. Con todo, estas aproximacións daránnos unha máis doada comprensión das ecuacións.

Se, por exemplo, fixésemos un experimento e puidésemos medir o tempo (t), e saber a posición dun obxecto (r) nese tempo (t), poderiamos definir as cantidades anteriores de xeito máis sinxelo. Denotamos primeiro o tempo inicial como t₀, que é cando iniciamos o cronómetro do noso experimento, e denotamos o tempo final sinxelamente como t ou t_final. Se denotamos a posición inicial como r₀, entón designamos a posición final co símbolo r ou r_final. Agora, tendo xa definidas as cantidades fundamentais, podemos expresar as cantidades físicas en termos aproximados do seguinte xeito.

Velocidade e aceleración

A velocidade, ou taxa de variación da posición no tempo, defínese como a derivada da posición con respecto do tempo:

$\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\,\!$.

A velocidade tamén é un vector pois ten magnitude e dirección.

A velocidade do obxecto é denotada por:

${\vec {v}}={\frac {({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})}{(t-t_{0})}}$

tamén coa expresión:

${\vec {v}}={\frac {incremento\ {\vec {r}}}{incremento\ t}}$

A aceleración, ou taxa de variación da velocidade é a derivada da velocidade con respecto do tempo (a derivada segunda da posición con respecto do tempo):

$\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}.$

A aceleración denótase con:

${\vec {a}}={\frac {({\vec {v}}_{final}\ -\ {\vec {v}}_{inicial})}{(t_{final}\ -\ t_{inicial})}}$

Forzas

Acción da forza de Lorentz desviando a traxectoria dun electrón nun campo electromagnético.

Na física, unha forza é calquera acción que causa que a velocidade dun obxecto cambie. A forza orixínase a partir dun campo, como o electrostático ou o electromagnético, entre outros. Newton foi o primeiro en expresar matematicamente a relación entre forza e momento. Algúns físicos interpretan a segunda lei do movemento como a definición de forza e masa, mentres que outros o consideran un principio fundamental, unha lei natural. Ambas as interpretacións teñen as mesmas consecuencias matemáticas, coñecidas historicamente como "Segunda Lei de Newton". Se se supón que m é a masa dun corpo e F é o vector resultante de sumar todas as forzas aplicadas ó mesmo (resultante ou forza neta), entón:

$\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}.$

onde m non é, necesariamente, independente de t. Por exemplo, un foguete expulsa gases diminuíndo a masa de combustible e polo tanto, a súa masa total, que decrece en función do tempo. Á cantidade mv chámaselle momento ou cantidade de movemento.

Cando m é independente de t (como sucede a miúdo), a anterior ecuación vólvese:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.$

A forma exacta de F obtense de consideracións sobre a circunstancia particular do obxecto. A terceira lei de Newton dá unha indicación particular sobre F: se un corpo A exerce unha forza F sobre outro corpo B, entón B exerce unha forza (de reacción) de igual dirección e sentido oposto sobre A, -F (terceiro principio de Newton ou principio de acción e reacción).

Un exemplo dunha forza é a fricción ou rozamento, que para movementos en seno de gases é función da velocidade da partícula (desprezando neste efecto a pequenas velocidades). Por exemplo:

$\mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,,$

onde λ é unha constante positiva. Se temos unha relación para F semellante á xa exposta, pode substituírse na segunda lei de Newton para obter unha ecuación diferencial, a ecuación do movemento. Se o rozamento é a única forza que actúa sobre o obxecto, a ecuación de movemento é:

$-\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,.$

Que pode integrarse para obter:

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{\frac {-\lambda t}{m}}$

onde v₀ é a velocidade inicial (unha condición de límite na integración). Isto indica que a velocidade deste corpo decrece de forma exponencial a cero. Esta expresión pode ser de novo integrada para obter r.

A inexistencia de forzas, ó aplicar o segundo principio de Newton, lévanos a que a aceleración é nula (primeiro principio de Newton ou Principio de inercia)

Forzas importantes son a forza gravitacional (a forza que resulta do campo gravitatorio) ou a forza de Lorentz (no campo electromagnético).

Traballo e enerxía

Se unha forza F se aplica a un corpo que realiza un desprazamento Δr, o traballo realizado pola forza é unha magnitude escalar de valor:

$W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,.$

Se se supón que a masa do corpo é constante, e dW_total é o traballo total realizado sobre o corpo, obtido ó sumar o traballo realizado por cada unha das forzas que actúa sobre o mesmo, entón, aplicando a segunda lei de Newton pódese amosar que:

dW_total = dE

onde E é a enerxía cinética. Para unha partícula puntual, E defínese:

$E_{\mathrm {k} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\,.$

Para obxectos extensos compostos por moitas partículas, a enerxía cinética é a suma das enerxías cinéticas das partículas que o constitúen.

Un tipo particular de forzas, coñecidas como forzas conservativas, pode ser expresado como o gradiente dunha función escalar, a enerxía potencial, E_p:

$\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\,.$

Se se supón que todas as forzas que actúan sobre un corpo son conservativas, e E_p é a enerxía potencial do corpo (obtida como suma das enerxías potenciais de cada punto debidas a cada forza), entón

$\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\cdot \Delta \mathbf {r} =-\Delta E_{\mathrm {p} }\,.$

logo,

$-\Delta E_{\mathrm {p} }=\Delta E_{\mathrm {k} }\Rightarrow \Delta (E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} })=0\,.$

Este resultado é coñecido como a lei de conservación da enerxía, indicando que a enerxía total $\sum E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }\,,$ é constante (non é función do tempo).

Alén das leis de Newton

A mecánica clásica tamén describe os movementos máis complexos de obxectos non puntuais. As leis de Euler proporcionan extensións ás leis de Newton nesta área. O concepto de momento angular depende do mesmo cálculo usado para describir o movemento unidimensional. A ecuación do foguete estende a noción de velocidade de cambio do impulso dun obxecto para incluír os efectos de que un obxecto "perde masa".

Hai dúas formulacións alternativas importantes da mecánica clásica: a mecánica lagranxiana e a mecánica hamiltoniana. Estas e outras formulacións modernas normalmente obvian o concepto de "forza", en vez de referirse a outras cantidades físicas, como a enerxía, a velocidade e o impulso, para describiren os sistemas mecánicos en coordenadas xeneralizadas.

As expresións anteriores para o impulso e a enerxía cinética só son válidas cando non hai unha achega electromagnética significativa. No electromagnetismo, a segunda lei de Newton para os fíos transportadores de corrente descomponse a menos que se inclúa a contribución do campo electromagnético ao impulso do sistema como se expresa polo vector de Poynting dividido por c², onde c é a velocidade da luz no baleiro.

Validez

Dominio de validez da mecánica clásica

Moitas ramas da mecánica clásica son simplificacións ou aproximacións de formas máis precisas; dúas das máis precisas son a relatividade xeral e a mecánica estatística relativista. A óptica xeométrica é unha aproximación á teoría cuántica da luz e non ten unha forma "clásica" superior.

Cando non se poden aplicar nin a mecánica cuántica nin a mecánica clásica, como a nivel cuántico con moitos graos de liberdade, é útil a teoría do campo cuántico (QFT). A QFT trata das pequenas distancias e das grandes velocidades con moitos graos de liberdade, así como da posibilidade de calquera cambio no número de partículas ao longo da interacción. A mecánica estatística é útil por tratar moitos graos de liberdade a nivel macroscópico. Describe o comportamento dun gran número (mais contable) de partículas e as súas interaccións no seu conxunto a nivel macroscópico. A mecánica estatística emprégase principalmente na termodinámica para sistemas que están fóra dos límites dos supostos da termodinámica clásica. No caso de obxectos a velocidades próximas á velocidade da luz, a mecánica clásica vese mellorada pola relatividade especial. No caso de que os obxectos sexan extremadamente pesados ​​(é dicir, que o seu raio de Schwarzschild non sexa insignificantemente pequeno para unha aplicación determinada), as desviacións da mecánica newtoniana fanse evidentes e pódense cuantificar empregando o formalismo post-newtoniano parametrizado. Nese caso, aplícase a relatividade xeral (GR). Non obstante, ata o momento non existe ningunha teoría da gravidade cuántica que unifique a GR e a QFT no sentido de que se poida usar cando os obxectos son extremadamente pequenos e pesados.

Historia

O estudo do movemento dos corpos é moi antigo, facendo da mecánica clásica un dos temas máis antigos e máis amplos na ciencia, na enxeñaría e na tecnoloxía.

Algúns filósofos gregos da antigüidade, entre eles Aristóteles, fundador da física aristotélica, puideron ser os primeiros en manter a idea de que "todo sucede por unha razón" e que os principios teóricos poden axudar á comprensión da natureza. Mentres que para un lector moderno, moitas destas ideas conservadas aparecen como razoables, hai unha evidente falta tanto de teoría matemática como de experimentos controlados, tal como se entende na época moderna. Estes convertéronse máis tarde en factores decisivos na formación da ciencia moderna, e a súa aplicación inicial foi coñecida como mecánica clásica.

Nos seus ‘’Elementa super demonstration ponderum’’, o matemático medieval Jordanus de Nemore introduciu o concepto de "gravidade posicional" e o uso de forzas compoñentes.

Teoría do ímpeto segundo Alberte de Saxonia.

A primeira explicación causal publicada dos movementos dos planetas foi en ‘’Astronomia nova’’ de Johannes Kepler (1609). Concluíu, baseándose nas observacións de Tycho Brahe sobre a órbita de Marte, que as órbitas do planeta eran elipses. Esta ruptura co pensamento antigo ocorría ao mesmo tempo que Galileo propuña leis matemáticas abstractas para o movemento dos obxectos. Pode (ou non) que realizase o famoso experimento de deixar caer dúas bólas de canón de diferentes pesos dende a torre de Pisa, demostrando que ambas golpeaban o chan ao mesmo tempo. A realidade dese experimento está en disputa, mais si realizou experimentos cuantitativos facendo rodar bólas nun plano inclinado. A súa teoría do movemento acelerado derivouse dos resultados destes experimentos e constitúe a pedra angular da mecánica clásica.

Isaac Newton (1643–1727), figura influente na historia da física; as súas leis do movemento forman a base da mecánica clásica

Newton fundou os seus principios de filosofía natural en tres leis do movemento propostas: a lei da inercia, a súa segunda lei de aceleración e a lei de acción e reacción; aí sentou as bases da mecánica clásica. Tanto a segunda como a terceira lei de Newton recibiron o tratamento científico e matemático axeitado nos ‘’Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica’’ de Newton. Distínguense dos intentos anteriores de explicar fenómenos similares, que eran incompletos, incorrectos ou ben daban unha expresión matemática pouco precisa. Newton tamén enunciou os principios de conservación do momento e do momento angular. En mecánica, Newton tamén foi o primeiro en proporcionar a formulación científica e matemática correcta da gravidade na lei da gravitación universal. A combinación das leis do movemento e da gravitación de Newton proporcionan a descrición máis completa e precisa da mecánica clásica. Demostrou que estas leis se aplican tanto a obxectos cotiáns como a obxectos celestes. En particular, obtivo unha explicación teórica das leis de Kepler sobre o movemento dos planetas.

Newton xa inventara o cálculo diferencial e empregouno para realizar os cálculos matemáticos. Para que fose aceptado, os ‘’Principia’’ formuláronse enteiramente en termos dos métodos xeométricos establecidos dende antigo, que logo foron eclipsados polo seu cálculo. Non obstante, foi Leibniz quen desenvolveu a notación das derivada e as integrais preferidas na actualidade.

A maior contribución de Hamilton é talvez a reformulación da mecánica newtoniana, chamada mecánica hamiltoniana

Newton e a maioría dos seus contemporáneos, coa notable excepción de Huygens, traballaron no suposto de que a mecánica clásica sería capaz de explicar todos os fenómenos, incluída a luz, en forma de óptica xeométrica. Mesmo ao descubrir os chamados aneis de Newton (un fenómeno de interferencia de ondas) mantivo a súa propia teoría corpuscular da luz.

Despois de Newton, a mecánica clásica converteuse nun campo de estudo principal tanto nas matemáticas como na física. Varias reformulacións permitiron progresivamente atopar solucións a un número moito maior de problemas. A primeira reformulación notable foi en 1788 por Joseph Louis Lagrange. Pola súa banda, a mecánica lagranxiana foi reformulada en 1833 por William Rowan Hamilton.

Xurdiron algunhas dificultades a finais do século XIX que só poderían resolverse cunha física máis moderna. Algunhas destas dificultades estaban relacionadas coa compatibilidade coa teoría electromagnética e o famoso experimento de Michelson-Morley. A resolución destes problemas levou á teoría da relatividade especial, a miúdo aínda considerada unha parte da mecánica clásica.

Un segundo conxunto de dificultades estivo relacionado coa termodinámica. Cando se combina coa termodinámica, a mecánica clásica leva ao paradoxo de Gibbs da mecánica estatística clásica, en que a entropía non é unha cantidade ben definida. A radiación do corpo negro non se explicou sen a introdución dos cuantos. Cando os experimentos alcanzaron o nivel atómico, a mecánica clásica non puido explicar, nin sequera aproximadamente, cousas tan básicas como os niveis e os tamaños de enerxía dos átomos e o efecto fotoeléctrico. O esforzo por resolver estes problemas levou ao desenvolvemento da mecánica cuántica.

Dende finais do século XX, a mecánica clásica na física xa non foi unha teoría independente. Pola contra, a mecánica clásica agora considérase unha teoría achegada á mecánica cuántica máis xeral. A énfase cambiou para comprender as forzas fundamentais da natureza como no modelo estándar e as súas extensións máis modernas nunha teoría unificada do todo. A mecánica clásica é unha teoría útil para o estudo do movemento de partículas non cuánticas de baixa enerxía en campos gravitacionais débiles. Tamén se estendeu ao dominio complexo onde a mecánica clásica complexa presenta comportamentos moi similares á mecánica cuántica.

Véxase tamén

Bibliografía

• Alonso, M.; Finn, J. (1992). Fundamental University Physics (en inglés). Addison Wesley. 
• Feynman, Richard (1999). The Feynman Lectures on Physics (en inglés). Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0092-7. 
• Feynman, Richard; Phillips, Richard (1998). Six Easy Pieces (en inglés). Perseus Publishing. ISBN 978-0-201-32841-7. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (en inglés) (3ª ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Kibble, Tom W.B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (en inglés) (5ª ed.). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6. 
• Kleppner, D.; Kolenkow, R.J. (1973). An Introduction to Mechanics (en inglés). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-035048-9. 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1972). Course of Theoretical Physics (en inglés). 1–Mechanics. Franklin Book Company. ISBN 978-0-08-016739-8. 
• Morin, David (2008). Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions (en inglés) (1ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87622-3. 
• Sussman, Gerald Jay; Wisdom, Jack (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics (en inglés). MIT Press. ISBN 978-0-262-19455-6. 
• O'Donnell, Peter J. (2015). Essential Dynamics and Relativity (en inglés). CRC Press. ISBN 978-1-4665-8839-4. 
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (en inglés) (5ª ed.). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40896-1. 

Outros artigos

• Xiroscopio
• Péndulo
• Cavitación