Mecánica lagranxiana

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A mecánica lagranxiana é unha reformulación da mecánica clásica introducida por Lagrange en 1788. Na mecánica lagranxiana, a traxectoria dun obxecto é derivada atopando a traxectoria que reduce ó mínimo a acción, que é a suma do lagranxiano ó longo do tempo; e este é a enerxía cinética menos a enerxía potencial.

A formulación lagranxiana simplifica moitos problemas físicos. Por exemplo, os sistemas de referencia inerciais son tratados en pé de igualdade e a diferenza das leis de Newton, a forma das ecuacións do movemento non depende do sistema de referencia elixido.

Motivación[editar | editar a fonte]

A utilidade da formulación lagranxiana apréciase ata en exemplos sinxelos. Por exemplo, considérese unha conta nun aro. Se se calculara o movemento da conta usando a mecánica newtoniana, teríamos un sistema complicado de ecuacións que considerarían as forzas que o aro exerce na conta en cada momento. Ollaríamos todos os movementos posibles que a conta podería tomar no aro e atoparíamos matematicamente o que reduce ó mínimo a acción. Hai moi poucas ecuacións posto que non estamos calculando directamente a influencia do aro na conta nun momento dado. Outro exemplo é o caso do estudo do movemento nun sistema que vira, por exemplo o planeta Terra: na formulación newtoniana é necesario introducir a man as forzas ficticias ou forzas de inercia como a forza centrípeta ou a forza de Coriolis mentres que na formulación lagranxiana estas aparecen de modo natural. Estes dous problemas considerados anteriormente son moito máis sinxelos de resolver empregando a formulación lagranxiana.

Ecuaciones de Lagrange[editar | editar a fonte]

As ecuaciones do movemento en mecánica lagranxiana son as ecuacións de Lagrange, tamén coñecidas como as ecuacións de Euler-Lagrange. A continuación bosquexamos a derivación da ecuación de Lagrange das leis de Newton do movemento. (Ver as referencias para derivacións máis detalladas e máis xerais).

Considere unha soa partícula con masa m e o vector de posición r. A forza aplicada, F, se é unha forza conservativa pode ser expresada como o gradiente dunha función potencial escalar V(r, t):

tal forza é independente das terceiras (ou de orde superior) derivadas de r, xa que logo a segunda lei de Newton forma un sistema de 3 ecuacións diferenciables ordinarias de segunda orde. Polo tanto, o movemento da partícula pódese describir totalmente por 6 variables independentes, ou graos de liberdade. Un sistema obvio de variables é {rj, r′j|j = 1, 2, 3}, as compoñentes cartesianos de r e as súas derivadas temporais, nun instante dado do tempo.

Máis xeralmente, podemos traballar cun sistema de coordenadas xeralizadas e das súas derivadas temporais, as velocidades xeralizadas: {qj, qj}. r está relacionado coas coordenadas xeralizadas por unha ecuación de transformación:

Considere un desprazamento arbitrario δr da partícula. O traballo feito pola forza aplicada F é δW = F · δr.

Usando a segunda lei de Newton, obtemos:

xa que o traballo é unha cantidade escalar física, debemos poder poñer esta ecuación en termos das coordenadas e das velocidades xeralizadas. No lado esquerdo,

O dereito é máis difícil, pero logo temos:

onde T = 1/2m r′ 2 é a enerxía cinética da partícula. A nosa ecuación para o traballo realizado convírtese así en

non embargantes, ista debe ser verdade para calquera conxunto de desprazamentos xeralizados δqi, polo que

para cada coordenada xeralizada δqi. Podemos simplificar aínda máis observando que V é unha función só de r e t, e r das coordenadas xeralizadas e t. Polo tanto, V é independente das velocidades xeralizadas:

Insertando isto na ecuación anterior e substituíndo L = T - V, obtemos as ecuacións de Lagrange:

Hai unha ecuación de Lagrange para cada coordenada xeralizada qi. Cando qi = ri (é dicir, as coordenadas xeralizadas son sinxelamente as coordenadas cartesianas), é inmediato comprobar que as ecuacións de Lagrange redúcense á segunda lei de Newton.

A derivación anterior pódese xeneralizar a un sistema de N partículas. Haberá 6N coordenadas xeralizadas, relacionadas ás coordenadas de posición por 3N ecuacións de transformación. En cada unha das 3N ecuacións de Lagrange, T é a enerxía cinética total do sistema, e V a enerxía potencial total.

Na práctica, é a miúdo máis fácil solucionar un problema usando as ecuacións de Euler-Lagrange que as leis de Newton. Isto é porque as coordenadas xeralizadas apropiadas qi pódense elixir para aproveitar as simetrías no sistema.

Principio de Hamilton[editar | editar a fonte]

A acción, denotada por S, é a integral temporal do lagranxiano:

Sexan q0 e q1 as coordenadas nos instantes inicial e final, t0 e t1 respectivamente. Usando o cálculo de variacións, pódese amosar que as ecuacións de Lagrange son equivalentes ó Principio de Hamilton:

o sistema experimenta aquela traxectoria entre t0 e t1 cuxa acción ten un valor estacionario.

Por estacionario, entendemos que a acción non varía na primeira orde para as deformacións infinitesimais da traxectoria, cos puntos límites (q0, t0) e (q1, t1) fixados. O principio de Hamilton pódese escribir como:

δS = 0

Así, no canto de pensar en partículas que aceleran en resposta a forzas aplicadas, un pode pensar nelas seleccionando a traxectoria cunha acción estacionaria.

O principio de Hamilton é coñecido, ás veces, como principio de mínima acción. Con todo, isto non é apropiado: a acción só necesita ser estacionaria, e a traxectoria correcta poderíase producir por un máximo, punto de ensilladura, ou mínimo na acción.

Extensións da mecánica lagranxiana[editar | editar a fonte]

O hamiltoniano, denotado por H, é obtido executando unha transformación de Legendre no lagranxiano. O hamiltoniano é a base para unha formulación alternativa da mecánica clásica coñecida como mecánica hamiltoniana. É unha cantidade particularmente ubicua na mecánica cuántica.

No 1948, Feynman descubriu a formulación por integral de traxectorias estendendo o principio de menor acción á mecánica cuántica. Nesta formulación, as partículas percorren cada traxectoria posible entre os estados iniciais e finais; a probabilidade dun estado final específico é obtida sumando sobre todas as traxectorias posibles que conduce a el. No réxime clásico, a formulación por integral de traxectorias reproduce o principio de Hamilton.

Mecánica lagranxiana en variedades diferenciables[editar | editar a fonte]

A formulación máis moderna da mecánica lagranxiana realízase con toda xeralidade sobre unha variedade diferenciable chamada espazo fásico (ou espazo das fases) Γ (gamma) que se constrúe como o fibrado tanxente do chamado espazo de configuración.

Sobre o espazo fásico de dimensión 2N, , sendo N o número de graos de liberdade, defínese unha función lagranxiana, que pode expresarse términos dunha carta local de coordenadas sobre ℝ2N:

Notas[editar | editar a fonte]

  • Goldstein, H.: "Mecánica clásica", Ed. Reverté, 1994.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]