Vector

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
3D Vector.svg

Un vector en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un de eles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

Notación[editar | editar a fonte]

Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.

Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba (), ou simplemente en negriña (). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:


.

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:


.

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

Propiedades[editar | editar a fonte]

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do vector.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de vale 5 unidades, faise así: . Expresado con fórmulas, dado un vector de coordenadas o seu módulo é .

- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

Clasificación dos vectores[editar | editar a fonte]

Segundo o seu punto de aplicación:

- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:

- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula: . Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse , e , sendo o vector unitario do eixe do x, o vector unitario do eixo y, e o do z.

- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a é .

- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectores[editar | editar a fonte]

Suma de vectores
Resta de vectores

Método gráfico[editar | editar a fonte]

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

Método do paralelogramo[editar | editar a fonte]

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

Método do triángulo[editar | editar a fonte]

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación de outro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)

Método analítico[editar | editar a fonte]

  • A suma

Con dous vectores de coordenadas,

o resultado da suma é:

  • A resta

Para restar dous vectores libres e súmase co oposto de :

O resultado da resta é:

Módulo resultante[editar | editar a fonte]

Dados dous vectores e , de módulos coñecidos e que forman o ángulo entre si, pódese obter o módulo coa seguinte fórmula:

Dedución da expresión[editar | editar a fonte]

Sexan dous vectores e que forman un ángulo entre si:

Imaxe de vectores colocados

A fórmula para calcular dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

Resultando:

No triángulo ACB :

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

Obtención da Dirección[editar | editar a fonte]

Para obter os ángulos directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo e ter calculado .

Podemos usar esta fórmula:

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

Produto dun vector por un escalar[editar | editar a fonte]

Produto por un escalar

O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número e un vector , o produto realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

o seu produto polo escalar é

é dicir, multiplícase por cada unha das compoñentes do vector.

Ángulo entre dous vectores[editar | editar a fonte]

Dados os vectores e , o ángulo calcúlase polo seu coseno:

Isto deriva do produto escalar.

Produto escalar[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Produto escalar.
AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A sobre B.

Produto vectorial[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Produto vectorial.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]