Cálculo diferencial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

O cálculo diferencial é unha parte da análise matemática que consiste no estudo de como cambian as funcións cando cambian as súas variables. O principal obxecto de estudo no cálculo diferencial é a derivada. Unha noción estreitamente relacionada é a de diferenza

O estudo do cambio dunha función é de especial interese para o cálculo diferencial, en concreto o caso no que o cambio das variables é infinitesimal, isto é, cando devandito cambio tende a cero (faise tan pequeno como se desexe). E é que o cálculo diferencial se apoia constantemente no concepto básico do límite. O paso ao límite é a principal ferramenta que permite desenvolver a teoría do cálculo diferencial e a que o diferencia claramente da álxebra.

Dende o punto de vista matemático das funcións e a xeometría, a derivada dunha función nun certo punto é unha medida da taxa na cal unha función cambia segundo un argumento se modifica. Isto é, unha derivada involucra, en termos matemáticos, unha taxa de cambio. Unha derivada é o cálculo das pendentes instantáneas de en cada punto . Isto corresponde ás pendentes das tanxentes da gráfica de devandita función nos seus puntos (unha tanxente por punto); as derivadas poden ser utilizadas para coñecer a concavidade dunha función, os seus intervalos de crecemento, os seus máximos e mínimos.

A inversa dunha derivada chámase primitiva, antiderivada ou integral indefinida.

Diferenciación e diferenciabilidade[editar | editar a fonte]

Unha función dunha variable é diferenciable nun punto x se existe a súa derivada nese punto; unha función é diferenciable nun intervalo se o é en cada punto x pertencente ao intervalo. Se unha función non é continua en c, entón non pode ser diferenciable en c; con todo, aínda que unha función sexa continua en c, pode non ser diferenciable. É dicir, toda función diferenciable nun punto c é continua en c, pero non toda función continua en c é diferenciable en c (como f(x) = |x| é continua, pero non diferenciable en x = 0).

Noción de derivada[editar | editar a fonte]

Recta secante entre os puntos f(x+h) e f(x).

As derivadas defínense tomando o límite da pendente das rectas secantes segundo se van aproximando á recta tanxente. É difícil calcular directamente a pendente da recta tanxente dunha función porque só se coñece un punto desta, o punto onde ten que ser tanxente á función. Por iso, aproxímase a recta tangente por rectas secantes. Cando se tome o límite das pendentes das secantes próximas, obterase a pendente da recta tanxente.

Para obter estas pendentes, tómase un número arbitrariamente pequeno que se denominará h. h representa unha pequena variación en x, e pode ser tanto positivo como negativo. A pendente da recta entre os puntos e é

Esta expresión é un cociente diferencial de Newton. A derivada de f en x é o límite do valor do cociente diferencial conforme as liñas secantes se achegan máis á tanxente:


Se a derivada de f existe en cada punto x, é posible entón definir a derivada de f como a función que ten como valor no punto x a derivada de f en x.

Posto que a inmediata substitución de h por 0 dá como resultado unha división por cero, calcular a derivada directamente pode ser pouco intuitivo. Unha técnica consiste en simplificar o numerador de modo que a h do denominador poida cancelarse. Isto resulta moi sinxelo con funcións polinómicas, pero para a maioría das funcións resulta demasiado complicado. Porén, hai regras xerais que facilitan a diferenciación da maioría das funcións descritas anteriormente.

O cociente diferencial alternativo[editar | editar a fonte]

A derivada de f(x) (tal como a definiu Newton) describiuse como o límite, segundo h se aproxima a cero. Unha explicación alternativa da derivada pode interpretarse a partir do cociente de Newton. Se se emprega a fórmula anterior, a derivada en c é igual ao límite segundo h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Se se considera que h = x - c (polo tanto, c + h = x), entón x aproxímase a c (segundo h tende a cero). Así, a derivada é igual ao límite conforme x aproxímase a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición utilízase para unha demostración parcial da regra da cadea.

Funcións de varias variables[editar | editar a fonte]

Para funcións de varias variables , as condicións de diferenciabilidade son máis estritas e requiren máis condicións á parte da existencia de derivadas parciais. En concreto, requírese a existencia dunha aproximación linear á función na veciñanza dun punto. Dada unha base vectorial, esta aproximación linear vén dada pola matriz jacobiana:


Historia[editar | editar a fonte]

Os problemas comúns que deron orixe ao cálculo infinitesimal comezaron a exporse na época clásica da antiga Grecia (século III a.C.), con conceptos de tipo xeométrico como o problema da tanxente a unha curva de Apolonio de Perge, pero non se atoparon métodos sistemáticos de resolución até o século XVII, grazas aos traballos de Isaac Newton e de Gottfried Wilhelm Leibniz.

Eles dous sintetizaron dous conceptos e métodos usados polos seus predecesores no que hoxe se denomina «diferenciación» e «integración». Desenvolveron regras para manipular as derivadas (regras de derivación) e demostraron que ambos os conceptos eran inversos (teorema fundamental do cálculo).

Desde o século XVII, moitos matemáticos contribuíron ao cálculo diferencial. No século XIX, o cálculo tomou un estilo máis rigoroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), e Karl Weierstrass (1815–1897). Foi tamén durante este período cando o cálculo diferencial xeneralizouse ao espazo euclidiano e ao plano complexo.

Aplicacións importantes do cálculo diferencial[editar | editar a fonte]

Recta tanxente a unha función nun punto[editar | editar a fonte]

A recta tanxente a unha función f(x) é como se viu o límite das rectas secantes cando un dos puntos de corte da secante coa función se fai tender cara ao outro punto de corte. Tamén pode definirse a recta tanxente como a mellor aproximación linear á función no seu punto de tanxencia, isto é, a recta tanxente é a función polinómica de primeiro grao que mellor aproxima a función localmente no punto de tanxencia considerado.

Se se coñece a ecuación da recta tanxente Ta(x) á función f(x) no punto a pode tomarse Ta(x) como unha aproximación razoablemente boa de f(x) nas proximidades do punto a. Isto quere dicir que, se se toma un punto a+h e se avalía tanto na función como na recta tanxente, a diferenza será desprezable fronte a h en valor absoluto se h tende a cero. Canto máis preto se estea do punto a tanto máis precisa será a aproximación de f(x).

Para unha función f(x) derivable localmente no punto a, a recta tanxente a f(x) polo punto a é:

Ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a).

Uso das derivadas para realizar gráficos de funcións[editar | editar a fonte]

As derivadas son unha ferramenta útil para examinar as gráficas de funcións. En particular, os puntos no interior dun dominio dunha función de valores reais que levan a devandita función a un extremo local terán unha primeira derivada de cero. Con todo, non todos os puntos críticos son extremos locais. Por exemplo, f(x)=x3 ten un punto crítico en x=0, pero nese punto non hai un máximo nin un mínimo. O criterio da primeira derivada e o criterio da segunda derivada permiten determinar se os puntos críticos son máximos, mínimos ou ningún deles.

No caso de dominios multidimensionais, a función terá unha derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión nun extremo local. Neste caso, a proba da segunda derivada pódese seguir empregando para caracterizar os puntos críticos, considerando o autovalor da matriz hessiana das segundas derivadas parciais da función no punto crítico. Se todos os autovalores son positivos, entón o punto é un mínimo local; se todos son negativos, entón é un máximo local. Se hai algúns autovalores positivos e algúns negativos, entón o punto crítico é un punto de sela, e se non se cumpre ningún destes casos, a proba é non concluínte (é dicir, os autovalores son 0 e 3).

Unha vez que se atopan os extremos locais, é moito máis fácil facerse unha idea da gráfica xeral da función, xa que (no caso do dominio monodimensional) se incrementará ou diminuirá uniformemente agás nos puntos críticos, e por iso (supondo a súa continuidade) terá valores intermedios entre os valores nos puntos críticos de cada lado.

Aproximación local de Taylor[editar | editar a fonte]

É posible entón aproximar mediante a súa recta tanxente unha función derivable localmente nun punto. Se se cumpre que a fución é suficientemente suave no punto ou dominio de estudo (isto é, a función é de clase ), entón pódese aproximar a función non por polinomios de grao un, senón por polinomios de grao dous, tres, catro e sucesivamente. Esta aproximación recibe o nome de desenvolvemento polinómico de Taylor e defínese da seguinte maneira:

onde P(x) é o polinomio de grao n que mellor aproxima a función no punto x=a. Cómpre notar que, se se avalía P(x) en x=a, todos os termos agás f(a) se anulan; logo, P(a) = f(a). Nótese tamén que a ecuación da recta tanxente do apartado anterior corresponde ao caso no que n=1.

Cando a = 0, o desenvolvemento denomínase desenvolvemento de MacLaurin, que é o que se emprega a maioría das veces na práctica. Exemplos de desenvolvementos importantes de MacLaurin son:

O símbolo denota aproximación, non igualdade. Se a función que se quere aproximar é infinitamente derivable () e se agregan infinitos termos ao desenvolvemento, entón convértese en e o desenvolvemento anterior convértese nunha serie de Taylor. As funcións que son iguais á súa serie de Taylor denomínanse funcións analíticas.

Cálculo de puntos[editar | editar a fonte]

Puntos singulares[editar | editar a fonte]

Denomínanse puntos singulares ou puntos estacionarios os valores da variable nos que se anula a derivada f'(x) dunha función f(x), é dicir, se f´(x)=0 en x1, x2, x3, . . ., xn. Entón, x1, x2, x3, . . ., xn son puntos singulares de f(x).

Os valores f(x1), f(x2), f(x3), . . ., f(xn), chámanse valores singulares.

Puntos críticos[editar | editar a fonte]

Por punto crítico enténdese: un punto singular, un punto onde non exista a derivada ou un punto extremo a ou b do dominio [a,b] de definición da función.

Se a segunda derivada é positiva nun punto crítico, dise que o punto é un mínimo local; se é negativa, dise que o punto é un máximo local; se vale cero, pode ser tanto un mínimo como un máximo ou un punto de inflexión. Derivar e resolver nos puntos críticos adoita ser unha forma simple de atopar máximos e mínimos locais, que poden empregarse en optimización. No entanto, nunca hai que desprezar os extremos en devanditos problemas.

Xeneralización do cálculo diferencial[editar | editar a fonte]

Cando unha función depende de máis dunha variable, utilízase o concepto de derivada parcial. As derivadas parciais pódense pensar informalmente como tomar a derivada dunha función con respecto a unha delas, mantendo as demais variables constantes. As derivadas parciais represéntanse como:

O concepto de derivada pode estenderse de forma máis xeral. O fío común é que a derivada nun punto serve como unha aproximación linear á función en devandito punto. Quizais a situación máis natural é que as funcións sexan diferenciables nas variedades. A derivada nun certo punto entón convértese nunha transformación linear entre os correspondentes espazos tanxentes, e a derivada da función convértese nun mapeo entre os grupos tanxentes.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3.ª edición) por Bruce H Edwards, Robert P. Hostetler e Ron Larson (2003).
  • Calculus (2.ª edición) por Michael Spivak.
  • Calculus Early Trascendentals (6.ª edición) por James Stewart.
  • Principios de Análise Matemática por Enrique Linés Escardo.