Gradiente

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á busca

No cálculo vectorial, o gradiente dun campo escalar é un campo vectorial. O vector gradiente de dun punto xenérico do dominio de , (), indica a dirección na cal o campo varía máis rapidamente e o seu módulo representa o ritmo de variación de na dirección de dito vector gradiente. O gradiente represéntase co operador diferencial nabla seguido da función (non confundir o gradiente coa diverxencia, pois esta última denótase cun punto de produto escalar entre o operador nabla e o campo). Tamén pode representarse mediante , ou usando a notación . A xeneralización do concepto de gradiente a campos vectoriais é o concepto de matriz xacobiana.

Se se toma como campo escalar un ao que se lle asigna a cada punto do espazo unha presión P (campo escalar de 3 variables), entón o vector gradiente nun punto xenérico do espazo indica a dirección na cal a presión muda máis rapidamente. Outro exemplo é o de considerar un mapa con liñas de nivel como campo escalar ao que lle asigna a cada parella de coordenadas latitude/lonxitude un escalar altitude (campo escalar de 2 variables). Neste caso o vector gradiente nun punto xenérico indica a dirección de máxima inclinación da superficie. Nótese que o vector gradiente será perpendicular ás liñas de contorno (liñas "equiescalares") do mapa.

Definición[editar | editar a fonte]

O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é:


Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector:


Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar:


Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operador nabla, é dicir:


Interpretación do gradiente[editar | editar a fonte]

De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x,y), (x,y,z), (tempo, temperatura) etcétera. Algúns exemplos son:

  • Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto , a temperatura é . Asumiremos que a temperatura non varia con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
  • Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x,y) se define como H(x, y). O gradiente de H nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra a pendente.

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • É ortogonal ás superficies equiescalares, definidas por =cte.
  • Apunta no sentido en que a derivada direccional é máxima.
  • O seu módulo é igual a esta derivada direccional máxima.
  • Anúlase nos puntos estacionarios (máximos, mínimos e puntos cadeira).
  • O campo formado polo gradiente en cada punto é sempre irrotacional, isto é,

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas[editar | editar a fonte]

A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente


Nun sistema de coordenadas ortogonais, o gradiente require os factores de escala, mediante a expresión


Para coordenadas cilíndricas (, ) resulta


e para coordenadas esféricas (, , )


Nun sistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma:


onde na expresión anterior se usou o convenio de sumación de Einstein.

Gradiente dun campo vectorial[editar | editar a fonte]

Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente de un tensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento:


Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todo e é unha función continua de dito vector.

Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que a matriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Dada a función , o seu vector gradiente é:


Aplicacións[editar | editar a fonte]

Aproximación linear dunha función[editar | editar a fonte]

O gradiente dunha función definida de RnR caracteriza a mellor aproximación linear da función nun punto particular en Rn. Exprésase así:


onde é o gradiente fixado en

Aplicacións en física[editar | editar a fonte]

A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunha magnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.

O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente en electromagnetismo e mecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dun potencial escalar.


  • Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como:


  • Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican a lei de Fick ou a lei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas


sendo a condutividade térmica.