Álxebra abstracta

A álxebra abstracta é a rama da matemática que se ocupa principalmente do estudo das estruturas alxébricas, como grupo, anel, espazo vectorial ou corpo, e das súas relacións.

O termo álxebra abstracta é utilizado ás veces en contraposición ao de álxebra elemental, que ensina as regras de manipulación das fórmulas e das expresións alxébricas nas que se empregan números reais ou complexos. De tódolos xeitos hoxe en día a maior parte dos autores prefiren empregar directamente o termo álxebra no lugar do de álxebra abstracta, considerando a álxebra elemental como unha iniciación informal a estruturas importantes coma a dos corpos dos números reais e complexos ou a das álxebras conmutativas.

A álxebra abstracta é empregada intensivamente na matemática moderna, así como na física matemática; por exemplo, a física teórica recorre ás álxebras de Lie. A teoría alxébrica de números, a topoloxía alxébrica ou a xeometría alxébrica son exemplos de campos que emerxen do emprego dos métodos da álxebra abstracta noutras áreas da matemática como a teoría de números, a topoloxía ou a xeometría.

Dous campos da matemática que estudan as estruturas coma un todo son a álxebra universal e a teoría de categorías. En matemáticas unha categoría ven a ser un obxecto que contén todas as estruturas dun determinado tipo xunto cos seus homomorfismos (por exemplo a categoría de grupos está composta polos grupos xunto cos homomorfismos de grupos). A teoría de categorías vén sendo unha poderosa abstracción útil para estudar e comparar diferentes estruturas alxébricas.

Historia e exemplos

Así como noutras ramas da matemática, os problemas concretos e os exemplos xogaron un papel importante na evolución da álxebra. Contra finais do século XIX moitos, quizais a maioría destes problemas gardaban dalgún xeito relación coa teoría de ecuacións alxébricas. Entre os máis importantes poderíanse citar:

• a resolución de sistemas de ecuacións lineais, o que conduciu ao desenvolvemento da teoría de matrices, determinantes e en xeral da álxebra lineal;
• as tentativas de atopar fórmulas que deran as solucións das ecuacións polinómicas de graos altos, que posibilitaron o descubrimento dos grupos como manifestación abstracta da simetría;
• e as investigacións de tipo aritmético ao redor das formas cadráticas e de graos altos e das ecuacións diofantianas, especialmente aquelas encamiñadas a probar o último teorema de Fermat, das que saíron directamente ás nocións de anel e ideal.

Numerosos libros de iniciación á álxebra abstracta principian coa definición axiomática de varias estruturas alxébricas e despois proceden a establecer as súas propiedades, xerando a falsa impresión de que na álxebra primeiro creáronse os axiomas e despois estes valeron de motivación e base para as investigacións posteriores. Mais a verdadeira orde no desenvolvemento dos feitos foi en realidade a contraria. A maior parte das teorías que hoxe en día recoñecemos como partes da álxebra comezaron coma coleccións de feitos dispares provenientes de diferentes ramas da matemática, logo acadaron un punto en común que serviu de núcleo ao redor do cal agrupáronse varios resultados, e finalmente unificáronse nunha base común de conceptos. Un exemplo arquetípico desta evolución pódese apreciar no desenvolvemento da teoría de grupos.

Comezos da teoría de grupos

Nos comezos da teoría de grupos houbo varias liñas de expansión, que na linguaxe actual viríanse a corresponder dun xeito aproximado coa teoría de números, a teoría de ecuacións, e a xeometría, das cales concentrarémonos nas dúas primeiras.

Xa Leonhard Euler realizaba operacións aritméticas módulo un enteiro (aritmética modular), probando a súa xeneralización do Pequeno teorema de Fermat. As súas investigacións foron retomadas en profundidade por Carl Friedrich Gauss, quen considerou a estrutura de grupo multiplicativo das clases de restos primos módulo un enteiro n, e estableceu varias propiedades dos grupos cíclicos e en xeral doutros grupos abelianos que xurdían deste xeito. Nas súas investigacións sobre a composición de formas cadráticas binarias, Gauss expresa explicitamente a propiedade asociativa para a composición de formas, mais do mesmo xeito ca Euler, semella estar máis interesado en resultados concretos que no desenvolvemento dunha teoría xeral. En 1870, Leopold Kronecker definiu grupo abeliano no contexto dos grupos das clases de ideais dun corpo de números alxébricos, unha xeneralización de longo alcance do traballo de Gauss. Kronecker non vincula a súa definición cos traballos previos sobre grupos, en concreto cos grupos de permutacións. En 1882, considerando a mesma cuestión, Heinrich Weber estableceu dita ligazón e deu unha definición parella que involucraba a propiedade de cancelación mais non requiría a existencia do elemento inverso, o cal lle chegaba de tódolos xeitos na súa investigación no seu contexto dos grupos finitos.

As permutacións foron estudadas por Joseph-Louis de Lagrange no seu traballo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, dedicado ao estudo das solucións das ecuacións alxébricas, no que introduce a resolvente de Lagrange. O obxectivo de Lagrange era o de comprender por que as ecuacións de terceiro e cuarto grao admiten fórmulas para as súas solucións, identificando o estudo das permutacións das súas raíces como a chave da cuestión. Unha novidade importante foi o feito de que neste traballo Lagrange considera as raíces dunha ecuación dun xeito abstracto, isto é como símbolos e non como números. Aínda así non considerou a composición de permutacións. Afortunadamente apareceu no mesmo ano a primeira edición do Meditationes Algebraicae de Edward Waring (unha versión expandida foi publicada no 1782). Waring demostra o teorema fundamental dos polinomios simétricos, e estudo especialmente a relación entre as raíces dunha ecuación cuártica coa súa cúbica resolvente. En 1771 Alexandre-Théophile Vandermonde analiza en Mémoire sur la résolution des équations a teoría de funcións simétricas dende un ángulo lixeiramente diferente, pero do mesmo xeito ca Lagrange, co obxectivo de botar luz sobre a resolución das ecuacións alxébricas.

Kronecker reivindica en 1888 que o estudo da álxebra moderna comezara con este primeiro traballo de Vandermonde. Cauchy establece con claridade a precedencia de Vandermonde sobre Lagrange por esta idea sobresaínte que finalmente conduciu ao estudo da teoría de grupos.

Paolo Ruffini foi a primeira persoa en desenvolver a teoría dos grupos de permutacións, e coma os seus predecesores, tamén o fixo no contexto da resolución de ecuacións alxébricas. O seu obxectivo foi o de establecer a inexistencia dunha expresión xeral con radicais para as solucións das ecuacións alxébricas de grao maior ca catro. No transcurso da súa investigación introduciu as nocións de orde dun elemento dun grupo, conxugación, grupo primitivo e imprimitivo así como a descomposición dunha permutación en produto de ciclos, e probou algúns teoremas importantes enlazando estes conceptos, como

se G é un subgrupo de S₅ de orde divisible por 5 entón G contén algún elemento de orde 5.

É de sinalar que para chegar a resultados coma este, arranxouse sen nin sequera ter formalizado o concepto de grupo, ou o de grupo de permutacións.

O paso seguinte deuno Évariste Galois en 1832 (se ben o seu traballo permaneceu sen publicar ata o 1846), cando considerou por vez primeira o que hoxe chamaríamos propiedade de clausura dun grupo de permutacións, que el expresou como

... se nun grupo deste tipo téñense as substitucións S e T, entón tamén se ten a substitución ST.

A teoría de grupos de permutacións acadou un grande alcance e fondura coas achegas de Augustin Louis Cauchy e Camille Jordan, tanto pola introdución de novos conceptos coma, ante todo, pola riqueza en resultados sobre clases especiais de grupos de permutacións, chegando a establecer incluso algúns teoremas máis xerais. Entre outras cousas, Jordan definiu a noción de isomorfismo, aínda que aínda no contexto dos grupos de permutacións, e foi el quen puxo de moda o termo grupo.

A noción abstracta de grupo apareceu por vez primeira en 1854 nos traballos de Arthur Cayley. Cayley decatouse de que un grupo non tiña por que ser de permutacións (ou incluso finito), podendo estar constituído por matrices, cuxas propiedades alxébricas, tales como a da súa multiplicación ou inversa, investigou en anos sucesivos. Moito máis tarde Cayley volvería á cuestión de se os grupos abstractos eran realmente máis xerais que os grupos de permutacións, establecendo que, de feito, calquera grupo é isomorfo a un subgrupo dun grupo de permutacións, resultado coñecido como teorema de Cayley.

Álxebra moderna

Entre finais do século XIX e comezos do XX houbo un enorme cambio de metodoloxía nas matemáticas. Os matemáticos deixaron de contentarse co establecemento de propiedades de obxectos concretos, e comezaron a dirixir os seus esforzos cara a confección de teorías xerais. Por exemplo, algúns resultados sobre grupos de permutacións víronse coma casos particulares de teoremas que empregaban a noción máis ampla de grupo abstracto, e en xeral puxéronse de moda os estudos da estrutura e clasificación de varios obxectos matemáticos. Este proceso aconteceu en todas as ramas da matemática, pero fíxose especialmente pronunciado na álxebra. Para moitas estruturas alxébricas básicas coma as de grupo, anel, e corpo, propuxéronse definicións formais a partir de axiomas que involucraban as súas operacións. As investigacións acerca de corpos xerais de Ernst Steinitz e de aneis conmutativos e despois de aneis xerais por David Hilbert, Emil Artin e Emmy Noether, baseadas no traballo de Ernst Kummer, Leopold Kronecker e Richard Dedekind, que consideraron ideais sobre aneis conmutativos, e de Ferdinand Georg Frobenius e Issai Schur sobre a teoría de representación de grupos, son a base da redefinición posterior da álxebra. Estes desenvolvementos do último cuarto do século XIX e primeiro cuarto do XX foron sistematizados no libro Moderne algebra de Bartel Leendert van der Waerden, unha monografía de dous volumes publicada en 1930 que supuxo para o mundo matemático o troco de significado da palabra álxebra, que pasou de denotar a teoría de ecuacións a significar teoría de estruturas alxébricas.

Véxase tamén

Bibliografía

• B.A. Sethuraman (1997). Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility. Springer. ISBN 0-387-94848-1. 
• Jimmie Gilbert, Linda Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra. Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-40264-X. 
• R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups: An introduction to abstract algebra. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6. 
• Carol Whitehead (2003). Guide to Abstract Algebra. Palgrave Macmillan. ISBN 0-333-79447-8. 
• Stanley N. Burris e H.P. Sankappanavar (1981). A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. 

Ligazóns externas

• John A. Beachy. "Abstract Algebra On Line". Arquivado dende o orixinal o 28 de decembro de 2020. Consultado o 15 de maio de 2007.  Arquivado 28 de decembro de 2020 en Wayback Machine.(Relación exhaustiva de definicións e teoremas da álxebra abstracta, en inglés).
• Joseph Mileti. "Abstract Algebra". Mathematics Museum. Arquivado dende o orixinal o 08 de xuño de 2007. Consultado o 15 de maio de 2007.  Arquivado 08 de xuño de 2007 en Wayback Machine.(unha sinxela introdución á materia, en inglés).