Conxunto

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

Notación[editar | editar a fonte]

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se é un conxunto e todos os seus elementos, é frecuente escribir:

(1)

para definir tal conxunto . A notación empregada en (1) para definir o conxunto chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento pertence a un conxunto , escríbese (léase ben no , ben pertence ao ). A negación de escríbese (léase non pertence ao ).

Se todos os elementos dun conxunto satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición coa indeterminada —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra "tal que".

Por exemplo, o conxunto pode definirse por:

.

O símbolo representa o conxunto dos números naturais.

Subconxuntos e Superconxuntos[editar | editar a fonte]

Venn A subset B.png

Un conxunto dise subconxunto doutro , se todos os elementos do son tamén elementos do ; matematicamente:

,

sexa cal for o elemento . Así, escríbese .

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se , cumprirse . Se o ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto , mais se todos os elementos do son elementos do , entón dicimos que é un subconxunto propio do , o que se representa como .

Se o é un subconxunto do , dicimos tamén que o é un superconxunto do , o que se escribe . Logo

,

e tamén: ,

significando que o é superconxunto propio do .

Polo principio de indentidade, é sempre certo , para todos os elementos , polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mismo.

Vemos que é unha relación de orde sobre un conxunto de conxuntos, pois

é reflexiva.
é antisimétrica
é transitiva

Conxunto baleiro[editar | editar a fonte]

O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por ou

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Operacións cos conxuntos[editar | editar a fonte]

Sexan e dous conxuntos.

Unión[editar | editar a fonte]

Os elementos que pertencen ao ou ao ou a ambos os dous e , forman outro conxunto, chamado unión de e , escrito . Matematicamente:

.

Intersección[editar | editar a fonte]

Os elementos comúns de e mais de forman un conxunto denominado intersección de e , representado por :

.

Se dous conxuntos e son tales que , entón e dinse conxuntos disxuntos.

Diferenza[editar | editar a fonte]

Os elementos dun conxunto que non se atopan noutro conxunto , forman outro conxunto chamado diferenza de e , representado por, :

.

Álxebra de conxuntos[editar | editar a fonte]

Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

  • A ∩ A = A
  • A ∪ A = A
  • A - A = Ø
  • A ∩ B = B ∩ A
  • A ∪ B = B ∪ A
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
  • C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
  • C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
  • (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
  • (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
  • A ⊆ B A ∩ B = A
  • A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
  • A ⊆ B ↔ A - B = Ø
  • A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
  • A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
  • A ∩ Ø = Ø
  • A ∪ Ø = A
  • Ø - A = Ø
  • A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

  • A'' = A
  • B - A = A' ∩ B
  • (B - A)' = A ∪ B'
  • A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
  • A ∩ U = A
  • A ∪ U = U
  • U - A = A'
  • A - U = Ø