Conxunto

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

Notación[editar | editar a fonte]

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se ~A é un conxunto e ~a, b, c, d, e todos os seus elementos, é frecuente escribir:

 ~A= \{a, b, c, d, e\} (1)

para definir tal conxunto ~A. A notación empregada en (1) para definir o conxunto  ~A chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento ~x pertence a un conxunto ~A, escríbese x\in A (léase ben ~x no ~A, ben ~x pertence ao ~A). A negación de x\in A escríbese x\notin A (léase ~x non pertence ao ~A).

Se todos os elementos ~x dun conxunto ~A satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición p\left( x\right) coa indeterminada ~x—, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

~A= \{x:p\left(x\right)\}
A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra \mid "tal que".

Por exemplo, o conxunto ~A= \{1, 2, 3, 4\} pode definirse por:

~A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\} .

O símbolo \mathbb{N} representa o conxunto dos números naturais.

Subconxuntos e Superconxuntos[editar | editar a fonte]

Venn A subset B.png

Un conxunto ~A dise subconxunto doutro ~B, se todos os elementos do ~A son tamén elementos do ~B; matematicamente:

x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B ,

sexa cal for o elemento ~x. Así, escríbese A\subseteq B.

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se A\subseteq B , cumprirse A = B. Se o ~B ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto ~A, mais se todos os elementos do ~A son elementos do ~B, entón dicimos que ~A é un subconxunto propio do ~B, o que se representa como A\subset B.

Se o ~A é un subconxunto do ~B, dicimos tamén que o ~B é un superconxunto do ~A, o que se escribe B\supseteq A. Logo

B\supseteq A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subseteq B,

e tamén: B\supset A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subset B,

significando B\supset A que o ~B é superconxunto propio do ~A.

Polo principio de indentidade, é sempre certo x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A , para todos os elementos ~x, polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mismo.

Vemos que \subseteq é unha relación de orde sobre un conxunto ~S de conxuntos, pois

 A\subseteq A  \subseteq é reflexiva.
 A\subseteq B\wedge B\subseteq A  \qquad\Rightarrow\qquad  A=B \, \subseteq é antisimétrica
 A\subseteq B\wedge B\subseteq C  \qquad\Rightarrow\qquad  A\subseteq C  \subseteq é transitiva

Conxunto baleiro[editar | editar a fonte]

O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por \{\} ou  \empty

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Operacións cos conxuntos[editar | editar a fonte]

Sexan ~A e ~B dous conxuntos.

Unión[editar | editar a fonte]

A \cup B

Os elementos que pertencen ao ~A ou ao ~B ou a ambos os dous ~A e ~B, forman outro conxunto, chamado unión de ~A e ~B, escrito  A\cup B . Matematicamente:

A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\} .

Intersección[editar | editar a fonte]

A \cap B

Os elementos comúns de ~A e mais de ~B forman un conxunto denominado intersección de ~A e ~B, representado por A\cap B :

A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}.

Se dous conxuntos ~A e ~B son tales que A\cap B =\emptyset, entón ~A e ~B dinse conxuntos disxuntos.

Diferenza[editar | editar a fonte]

A \setminus B

Os elementos dun conxunto ~A que non se atopan noutro conxunto ~B, forman outro conxunto chamado diferenza de ~A e ~B, representado por, A \setminus B:

A \setminus B = \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\notin B\}.

Álxebra de conxuntos[editar | editar a fonte]

Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

  • A ∩ A = A
  • A ∪ A = A
  • A - A = Ø
  • A ∩ B = B ∩ A
  • A ∪ B = B ∪ A
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
  • C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
  • C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
  • (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
  • (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
  • A ⊆ B A ∩ B = A
  • A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
  • A ⊆ B ↔ A - B = Ø
  • A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
  • A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
  • A ∩ Ø = Ø
  • A ∪ Ø = A
  • Ø - A = Ø
  • A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

  • A'' = A
  • B - A = A' ∩ B
  • (B - A)' = A ∪ B'
  • A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
  • A ∩ U = A
  • A ∪ U = U
  • U - A = A'
  • A - U = Ø