Determinante (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Determinante.

Determinante (matemáticas)
Subclase de invariante alxébrico aplicación multilinear alternada  Estudado por álxebra lineal teoría dos determinantes
Notación soportes de barra verticais
Fórmula $\det({\boldsymbol {A}})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right)$ $\sum$ (sumatorio) $\prod$ (produto) $\sigma$ (permutación) $\operatorname {sgn}()$ (paridade dunha permutación) ${\boldsymbol {A}}$ (matriz cadrada) $S_{n}$ (grupo simétrico) $\det({\boldsymbol {A}})$ (determinante)
Características  Notación soportes de barra verticais
Códigos e identificadores Freebase /m/02c2w MathWorld Determinant
Fontes e ligazóns  Descrito pola fonte Novo Dicionario Enciclopédico, 1911-1916 "НЭС / Определитель" Pequeno Dicionario Enciclopédico de Brockhaus e Efron "МЭСБЕ / Определитель" Dicionario Enciclopédico Brockhaus e Efron "ЭСБЕ / Определитель" ISO 80000-2:2019 Encyclopædia Britannica "1911 Encyclopædia Britannica/Determinant"
Wikidata C:Commons

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que representan os lados do paralelogramo.

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Significado xeométrico

O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:

$\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'$

A expresión xeométrica equivalente:

$\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \operatorname {sen} \theta$

onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $X$ e $X'$.

O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, $\det(A)=\pm {\text{vol}}(P).$

Definición de determinante

Formas n-lineais alternadas

Sexa $E$ un espazo vectorial de dimensión $n$ sobre un corpo $K$. Unha forma n-lineal alternada é unha aplicación

$$D:E\times {\overset {n}{\cdots }}\times E\to K$$

que é lineal en cada unha das $n$ compoñentes, é dicir, tal que

$$D(v_{1},\dots ,\lambda v_{i}+\mu v_{i}',\dots ,v_{n})=\lambda D(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n})+\mu D(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n})$$

e alternada, é dicir, que se existen $i\neq j$ tales que $v_{i}=v_{j}$, entón $D(v_{1},\dots ,v_{n})=0$ (independentemente dos vectores $v_{1},\dots ,v_{n}\in E$ e escalares $\lambda ,\mu \in K$). O conxunto das formas $n$-lineais alternadas de $E$ forma un $K$-espazo vectorial de dimensión $1$ representado usualmente por ${\mathcal {A}}_{n}(E)$ ou $\Lambda ^{n}(E^{*})$.

Determinante dunha familia de vectores fixada unha base

Fixada unha base ${\mathcal {B}}=(w_{1},\dots ,w_{n})$ de $E$, podemos definir o determinante en base ${\mathcal {B}}$ como a única forma n-lineal alternada $\mathrm {det} _{\mathcal {B}}:E\times {\overset {n}{\cdots }}\times E\to K$ que verifica que $\mathrm {det} _{\mathcal {B}}(w_{1},\dots ,w_{n})=1$.

Determinante dunha matriz

Sexa $A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(K)$ unha matriz cadrada de orde $n$ con coeficientes nun corpo $K$. As columnas da matriz pódense ver como vectores do espazo vectorial $K^{n}$. Neste último podemos considerar a base canónica ${\mathcal {C}}=(e_{1},\dots ,e_{n})$ dada por ${\textstyle e_{i}=(\delta _{ij})_{j=1}^{n},\forall i=1,\dots ,n}$, onde $\delta _{ij}$ é a delta de Kronecker. Definimos así o determinante da matriz $A$ como o determinante dos seus $n$ vectores columna na base canónica.

Determinante dun endomorfismo

Sexa $E$ un $K$-espazo vectorial e $f:E\to E$ endomorfismo. Dada $D\in {\mathcal {A}}_{n}(E)$ unha forma n-lineal alternada calquera, a aplicación $f^{*}(D):E\times {\overset {n}{\cdots }}\times E\to K$ dada por $f^{*}(D)(v_{1},\dots ,v_{n})=D(f(v_{1}),\dots ,f(v_{n}))$ é $n$-lineal alternada, por seren $f$ lineal e $D$ $n$-lineal alternada. Polo tanto, temos unha función lineal

$$f^{*}:{\mathcal {A}}_{n}(E)\to {\mathcal {A}}_{n}(E).$$

Agora, por ser ${\mathcal {A}}_{n}(E)$ un $K$-espazo vectorial de dimensión 1, $f^{*}=d\cdot \mathrm {Id} _{{\mathcal {A}}_{n}(E)}$ para algún $d\in K.$Definimos entón o determinante do endomorfismo como a razón da homotecia $f^{*}$ ($d$ na notación anterior). É dicir, $\det f=d\Leftrightarrow f^{*}=d\cdot \operatorname {Id} _{{\mathcal {A}}_{n}(E)}$.

De feito, se ${\mathcal {B}}=(w_{1},\dots ,w_{n})$ é unha base de $E$, o determinante do endomorfismo $f$ coincide co determinante da súa matriz na base ${\mathcal {B}}$, $\det f=\det(f)_{\mathcal {B}}=\operatorname {det} _{\mathcal {B}}(f(w_{1}),\dots ,f(w_{n}))$, independentemente da base elixida.

Métodos de cálculo

Conceptos previos (permutacións e grupo simétrico)

Unha permutación do conxunto $\{1,2,\dots ,n\}$ é unha aplicación bixectiva deste conxunto nel mesmo. O conxunto de todas estas permutacións, chamado grupo simétrico, adoita representarse por $S_{n}$. O signo $\operatorname {sgn}(\sigma )$ dunha permutación $\sigma \in S_{n}$ defínese como $+1$ se a permutación se pode descompoñer como composición dun número par de transposicións (permutacións que intercambian dous números e deixan fixos os demais) e $-1$ noutro caso.

Fórmula de Leibniz para o determinante dunha matriz

Dada $A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(K)$ unha matriz $n\times n$ con entradas nun corpo $K$, a fórmula de Leibniz para o seu determinante é, usando a notación sigma para a suma,

$\det(A)\equiv {\begin{vmatrix}a_{11}\ldots a_{1n}\\\vdots \qquad \vdots \\a_{n1}\ldots a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$

Usando a notación pi para o produto, pódese reducir a

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}\right)$.

O símbolo de Levi-Civita defínese nas n-tuplas de enteiros $\{1,\ldots ,n\}$ como $0$ se dous dos enteiros son iguais e como o signo da permutación definida pola n-tupla de enteiros noutro caso. Tomando este símbolo, a fórmula de Leibniz queda como

$\det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\!\cdots a_{ni_{n}},$

onde a suma se toma sobre todas as n-tuplas de enteiros en $\{1,\ldots ,n\}.$

Por exemplo, a fórmula de Leibniz aplicada ao cálculo do determinante dunha matriz de orde $3$ dinos

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Regra de Laplace

A regra de Lapace ou expansión de Lapace expresa o determinante dunha matriz $A\in {\mathcal {M}}_{n}(K)$ de forma recursiva en termos de determinantes de submatrices de $A$, coñecidas como os seus menores. O menor $M_{ij}$ defínese como o determinante da matriz $A_{ij}\in {\mathcal {M}}_{n-1}(K)$ obtida eliminando a $i$-ésima fila e a $j$-ésima columna de $A$. A expresión $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ conécese como cofactor. Para cada $i$, tense a igualdade

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij},$

chamada expansión de Laplace pola $i$-ésima fila. Por exemplo, a expansión de Laplace pola primeira fila dunha matriz de orde $3$ danos a fórmula

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}.$

Se desenvolveramos os determinantes na expresión anterior, obteriamos a fórmula de Leibniz. De xeito equivalente, podemos falar da expansión de Laplace pola $j$-ésima columna, de modo que

$\det(A)=\det(A^{t})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.$

A expansión de Laplace pode usarse de forma iterativa para o cálculo de determinantes, pero non é moi operativa cando se manexan matrices de orde grande. Porén, é útil para computar determinantes de matrices con certa simetría como a matriz de Vandermonde

$${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).$$

A expansión de Laplace por filas ou columnas pode xeneralizarse para escribir o determinante dunha matriz de orde $n$ como a suma de ${\tbinom {n}{k}}$ termos, cada un deles produto do determinante dunha submatriz de orde $k$ polo determinante da submatriz de orde $n-k$ correspondente. Por exemplo,

$${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l&\\m&n&o&p\end{vmatrix}}=\,\,&{\begin{vmatrix}a&b\\e&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}k&l\\o&p\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a&c\\e&g\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}j&l\\n&p\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&d\\e&h\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}j&k\\n&o\end{vmatrix}}\\&+{\begin{vmatrix}b&c\\f&g\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}i&l\\m&p\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}b&d\\f&h\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}i&k\\m&o\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}c&d\\g&h\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}i&j\\m&n\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$$

Propiedades e relacións

O determinante dunha matriz ten varias propiedades clave, algunhas das cales se seguen inmediatamente da súa definición como forma multilineal alternada. Para os propósitos desta sección, sexan $A\in {\mathcal {M}}_{n}(K)$ unha matriz de orde $n$ con entradas nun corpo $K$ e $a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}\in K^{n}$ as columnas de $A$ pensadas como vectores.

• Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:

$${\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.$$

• O determinante da matriz obtida de multiplicación unha das columnas doutra por un escalar é igual ao determinante da matriz orixinal multiplicada por ese escalar:

$${\begin{vmatrix}\lambda a&b\\\lambda c&d\end{vmatrix}}=\lambda ad-\lambda bc=\lambda (ad-bc)=\lambda {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.$$

• En particular, por ser multilineal, o determinante é unha aplicación homoxénea

$$\det(\lambda A)=\lambda ^{n}\det(A),\quad \forall \lambda \in K.$$

• O determinante é antisimétrico, $\det(A)=\det(a_{1},\dots ,a_{n})=\operatorname {sgn}(\sigma )\det(a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (n)})$ para $\sigma \in S_{n}$ unha permutación. En particular, a permutación de dúas columnas (ou filas) altera o signo do determinante:$${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc=-bc+ad=-{\begin{vmatrix}b&d\\a&c\end{vmatrix}}.$$

• O determinante de $A$ é non nulo se e só se $\{a_{j}\}_{j=1}^{n}$ é un conxunto de vectores linealmente independente de vectores de $K^{n}$. Como $A$ é unha matriz de orde $n$, en particular o seu determinante é non nulo se e só se $(a_{j})_{j=1}^{n}$ é unha base de $K^{n}$.
• Sumado á columna (ou fila) dunha matriz un múltiplo doutra columna (ou fila), o determinante da nova matriz é igual ao da matriz orixinal (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).

Matriz adxunta

A matriz adxunta $\operatorname {adj} (A)$ ou $\operatorname {adx} (A)$ é a trasposta da matriz de cofactores, é dicir,

$(\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.$

Para calquera matriz cadrada $A$, tense que

$\det(A)\cdot I_{n}=A(\operatorname {adj} (A))=(\operatorname {adj} (A))\,A.$

En particular, se $A$ é non singular, a súa inversa pódese expresar en función da matriz adxunta:

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.$

Das igualdades anteriores (para $A$ matriz non singular) pódense obter as fórmulas para o determinante da matriz adxunta

$\det(\operatorname {adj} (A))={\frac {\det(\det(A)\cdot I_{n})}{\det(A)}}={\frac {\det(A)^{n}}{\det(A)}}=\det(A)^{n-1}$

e da inversa

$\det(A^{-1})=\det \left({\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A)\right)={\frac {1}{\det(A)^{n}}}\det(\operatorname {adj} (A))={\frac {\det(A)^{n-1}}{\det(A)^{n}}}={\frac {1}{\det(A)}}.$

Se $A$ é unha matriz singular de orde $n>1$, entón tamén o é a súa adxunta.

Produto de matrices e grupo lineal

O determinante é unha aplicación multiplicativa, é dicir, para matrices $A,B\in {\mathcal {M}}_{n}(K)$, o determinante da matriz produto é igual ao produto dos determinantes das matrices (resultado coñecido como teorema de Binet):

$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Recordemos que unha matriz $A$ con entradas nun a corpo é non singular se e só se $\det(A)\neq 0$. O conxunto das matrices non singulares $\{A\in {\mathcal {M}}_{n}(K):\det(A)\neq 0\}$ forma pois, coa operación de produto de matrices, un grupo. Este é o coñecido como grupo lineal xeral, representado habitualmente por $\operatorname {GL} _{n}(K)$.

É de especial interese o subgrupo chamado grupo lineal especial $\operatorname {SL} _{n}(K)$, formado polas matrices con determinante un. En xeral, a palabra "especial" indicará que nos estamos a referir a un subgrupo deste último. Algúns exemplos disto son o grupo especial ortogonal ${SO}_{n}(K)$ e o grupo especial unitario $SU_{n}(K)$.

Como o determinante respecta a multiplicación e as inversas, é un homomorfismo de grupos entre $\operatorname {GL} _{n}(K)$ e o grupo multiplicativo $K^{\times }$ do corpo $K$. Este homomorfismo é sobrexectivo e o seu núcleo é precisamente $\operatorname {SL} _{n}(K)$.

A fórmula de Cauchy-Binet é unha xeneralización da fórmula do produto para matrices non cadradas. Esta fórmula pódese reexpresar como unha fórmula multiplicativa para matrices compostas cuxas entradas son os determinantes das submatrices cadradas dunha matriz dada.

Matriz trasposta

O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa trasposta:

$\det(A)=\det(A^{t})$.

Isto permite xeneralizar todas as propiedades que se tiñan para columnas a filas.

Matrices ortogonais

Se $A\in {\mathcal {O}}_{n}(\mathbb {R} )$ é unha matriz ortogonal, entón $\det(A)=\pm 1$, pois

$\det(A)=\det(A^{t})=[\det(A^{-1})]^{-1}=[\det(A^{t})]^{-1}=[\det(A)]^{-1}.$

En xeral, se $A\in {\mathcal {O}}_{n}(K)$, o seu determinante é unha raíz en $K$ do polinomio $X^{2}-1=0.$

Matrices triangulares

Se $A$ é unha matriz triangular (superior ou inferior) de orde $n$, o seu determinante é o produto dos $n$ elementos da diagonal principal:$$\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.$$Por este mesmo motivo, algunhas estratexias numéricas para o cálculo de determinantes pasan pola factorización da matriz en produto de matrices triangulares.

Matrices unimodulares

Unha matriz $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {Z} )$ dise unimodular se $\det(A)=\pm 1$. Se $A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {Z} )$, dicimos que $A$ é totalmente unimodular se toda submatriz cadrada non singular de $A$ é unimodular; por exemplo

$${\begin{pmatrix}{\phantom {-}}1&{\phantom {-}}0&{\phantom {-}}0&{\phantom {-}}1\\-1&{\phantom {-}}1&{\phantom {-}}0&{\phantom {-}}0\\{\phantom {-}}0&-1&{\phantom {-}}1&{\phantom {-}}0\end{pmatrix}}.$$

Da definición de matriz totalmente unimodular, tense que as súas entradas necesariamente son $0$, $1$ou $-1$ (cada entrada é unha submatriz cadrada de orde un). Estes tipos de matrices son de interese na optimización lineal.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra I, Chapters 1-3. Springer. ISBN 9783540642435. 
• Lang, Serge (1985). Introduction to Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (2 ed.). Springer. ISBN 9780387962054. 
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3 ed.). Springer. ISBN 9780387964126. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2019-05-05. 
• Rote, Günter (2001). "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches" (PDF). Computational discrete mathematics. Lecture Notes in Comput. Sci. 2122. Springer. pp. 119–135. ISBN 978-3-540-42775-9. MR 1911585. doi:10.1007/3-540-45506-X_9. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2007-02-01. Consultado o 2020-06-04. 

Outros artigos

• Álxebra multilinear
• Factorización de Cholesky
• Matriz inversa
• Matriz ortogonal
• Polinomio característico
• Tensor
• Valor propio, vector propio e espazo_propio

Ligazóns externas

• Suprunenko, D.A. (2001) [1994]. "Determinant". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• Weisstein, Eric W. "Determinant". MathWorld. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Determinante (matemáticas)". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. .
• Determinant Interactive Program and Tutorial
• Determinant Calculator Arquivado 16 de febreiro de 2025 en Wayback Machine. Calculadora, até orde 8.
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• de curso de Álxebra linear. Arquivado 25 de maio de 2009 en Wayback Machine.