Determinante (matemáticas)

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.
Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.
Significado xeométrico
[editar | editar a fonte]
Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:
A expresión xeométrica equivalente:
onde é o ángulo formado polos vectores e .
O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, [1]
Definición
[editar | editar a fonte]Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas
As entradas etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.
O determinante de denotado como , ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:
Fórmula de Leibniz
[editar | editar a fonte]
O determinante dunha matriz 3 × 3 é
Por exemplo:
Propiedades
[editar | editar a fonte]Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices n × n que ten as catro propiedades seguintes:
- O determinante da matriz identidade é 1.
; - O troco de dúas filas multiplica o determinante por −1.
- Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):
- Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.
Outras propiedades básicas
[editar | editar a fonte]O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices , e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes.[2]
- o determinante é cero se dúas filas son iguais:
- tamén para dúas columnas.
- Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:
- O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta[3]:
; - Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante[3]:
- Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;
- O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet)[4]:
- O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde é igual a ese escalar, elevado a , multiplicado polo determinante da matriz[3]:
onde é a orde da matriz - Se é ortogonal, entón ;[5]
- Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal[3][5]:
- Sexa unha matriz triangular de orde logo ;
- Se unha fila ou columna da matriz son todo ceros, daquela ;[3]
- Se for sumado, a unha fila (ou columna) de , un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).[6]
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ "Determinants and Volumes". textbooks.math.gatech.edu. Consultado o 16 March 2018.
- ↑ Lang 1985, §VII.1
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 David LAY (2013). Álgebra linear e suas aplicações. LTC Rio de Janeiro.
- ↑ Callioli 1990, p. 219
- ↑ 5,0 5,1 Joel N. FRANKLIN (2012). Matrix theory. Courier Corporation.
- ↑ Gelson IEZZI (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. Atual São Paulo. ISBN 9788535717488.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Determinante ![]() |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra I, Chapters 1-3. Springer. ISBN 9783540642435.
- Lang, Serge (1985). Introduction to Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (2 ed.). Springer. ISBN 9780387962054.
- Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3 ed.). Springer. ISBN 9780387964126.
- Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.
- Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2019-05-05.
- Rote, Günter (2001). "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches" (PDF). Computational discrete mathematics. Lecture Notes in Comput. Sci. 2122. Springer. pp. 119–135. ISBN 978-3-540-42775-9. MR 1911585. doi:10.1007/3-540-45506-X_9. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2007-02-01. Consultado o 2020-06-04.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Suprunenko, D.A. (2001) [1994]. "Determinant". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
- Weisstein, Eric W. "Determinant". MathWorld.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Determinante (matemáticas)". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews..
- Determinant Interactive Program and Tutorial
- Determinant Calculator Calculadora, até orde 8.
- Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
- de curso de Álxebra linear. Arquivado 25 de maio de 2009 en Wayback Machine.