Saltar ao contido

Determinante (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Significado xeométrico

[editar | editar a fonte]
O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:

A expresión xeométrica equivalente:

onde é o ángulo formado polos vectores e .

O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, [1]

Definición

[editar | editar a fonte]

Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas

As entradas etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.

O determinante de denotado como , ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:

Fórmula de Leibniz

[editar | editar a fonte]
Regra de Sarrus (esquema mnemotécnico)

O determinante dunha matriz 3 × 3 é

Por exemplo:

Propiedades

[editar | editar a fonte]

Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices n × n que ten as catro propiedades seguintes:

  1. O determinante da matriz identidade é 1.
      ;
  2. O troco de dúas filas multiplica o determinante por −1.
  3. Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):
      
  4. Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.

Outras propiedades básicas

[editar | editar a fonte]

O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices , e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes.[2]

  • o determinante é cero se dúas filas son iguais:
tamén para dúas columnas.
  • Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:
  • O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta[3]:
       ;
  • Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante[3]:
      
Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;
  • O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet)[4]:
      
  • O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde é igual a ese escalar, elevado a , multiplicado polo determinante da matriz[3]:
       onde é a orde da matriz
  • Se é ortogonal, entón ;[5]
  • Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal[3][5]:
Sexa unha matriz triangular de orde logo ;
  • Se unha fila ou columna da matriz son todo ceros, daquela ;[3]
  • Se for sumado, a unha fila (ou columna) de , un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).[6]
  1. "Determinants and Volumes". textbooks.math.gatech.edu. Consultado o 16 March 2018. 
  2. Lang 1985, §VII.1
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 David LAY (2013). Álgebra linear e suas aplicações. LTC Rio de Janeiro. 
  4. Callioli 1990, p. 219
  5. 5,0 5,1 Joel N. FRANKLIN (2012). Matrix theory. Courier Corporation. 
  6. Gelson IEZZI (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. Atual São Paulo. ISBN 9788535717488. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]