Determinante (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Determinante.

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Significado xeométrico

O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:

$\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'$

A expresión xeométrica equivalente:

$\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \operatorname {sen} \theta$

onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $X$ e $X'$.

O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, $\det(A)=\pm {\text{vol}}(P).$

Definición

Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.$

As entradas $a_{1,1}$ etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.

O determinante de $A$ denotado como $\det(A)$, ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:

${\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}}.$

Fórmula de Leibniz

Regra de Sarrus (esquema mnemotécnico)

O determinante dunha matriz 3 × 3 é

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Por exemplo:

$\det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=(3\cdot (-4))-(7\cdot 1)=-19.$

$A=\det {\begin{pmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{vmatrix}}=$

$=(-2\cdot 1\cdot (-1))+(-1\cdot 4\cdot (-3))+(2\cdot 2\cdot 3)-(2\cdot 1\cdot (-3))-(-1\cdot 2\cdot (-1))-(4\cdot 3\cdot (-2))=54.$

Propiedades

Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices n × n que ten as catro propiedades seguintes:

1. O determinante da matriz identidade é 1.
     $\left|I_{n}\right|=1$;
2. O troco de dúas filas multiplica o determinante por −1.
3. Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):
     ${\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.$
4. Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.

Outras propiedades básicas

O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices $2\times 2$, e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes.

• o determinante é cero se dúas filas son iguais:

${\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.$

tamén para dúas columnas.

• Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:

${\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.$

• O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta:
     $\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$;
• Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante:
     $\left|A^{-1}\right|={\frac {1}{\left|A\right|}}.$

Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;

• O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet):
     $\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$
• O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde $n$ é igual a ese escalar, elevado a $n$, multiplicado polo determinante da matriz:
     $\left|\lambda A\right|=\lambda ^{n}\left|A\right|,$ onde $n$ é a orde da matriz $A$
• Se $A$ é ortogonal, entón $\left|A\right|=\pm 1$;
• Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Sexa $A$ unha matriz triangular de orde $n,$ logo $\left|A\right|=a_{1,1}a_{2,2}\cdots a_{n,n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i,i}$;

• Se unha fila ou columna da matriz $A$ son todo ceros, daquela $\left|A\right|=0$;
• Se for sumado, a unha fila (ou columna) de $A$, un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de $A$ (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).

Véxase tamén

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra I, Chapters 1-3. Springer. ISBN 9783540642435. 
• Lang, Serge (1985). Introduction to Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (2 ed.). Springer. ISBN 9780387962054. 
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3 ed.). Springer. ISBN 9780387964126. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2019-05-05. 
• Rote, Günter (2001). "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches" (PDF). Computational discrete mathematics. Lecture Notes in Comput. Sci. 2122. Springer. pp. 119–135. ISBN 978-3-540-42775-9. MR 1911585. doi:10.1007/3-540-45506-X_9. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2007-02-01. Consultado o 2020-06-04. 

Outros artigos

• Matriz inversa
• Valor propio, vector propio e espazo_propio

Ligazóns externas

• Suprunenko, D.A. (2001) [1994]. "Determinant". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• Weisstein, Eric W. "Determinant". MathWorld. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Determinante (matemáticas)". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. .
• Determinant Interactive Program and Tutorial
• Determinant Calculator Calculadora, até orde 8.
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• de curso de Álxebra linear. Arquivado 25 de maio de 2009 en Wayback Machine.