Isomorfismo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, un isomorfismo (do grego iso-morfos: Igual forma) é un homomorfismo (ou máis xeralmente un morfismo) que admite un inverso.[1] o concepto matemático de isomorfismo pretende captar a idea de ter a mesma estrutura. Dúas estruturas matemáticas entre as que existe unha relación de isomorfismo chámanse isomorfas.

Definición formal[editar | editar a fonte]

Pódese definir concisamente como un homomorfismo bixectivo tal que a súa inversa é tamén homomorfismo.[2] isto es:[3][4]

Un isomorfismo entre dous conxuntos ordenados e é unha función bixectiva tal que:
Para todo se ten que se e só se .

Se existe un isomorfismo entre e , entón e chámanse isomorfos e a bixección coñécese como isomorfismo entre e .

Se dise que o isomorfismo é un automorfismo. Pódese demostrar que dado un conxunto ben ordenado o único automorfismo posible é a función identidade.[4]

Propiedades nas ordes totais[editar | editar a fonte]

Os isomorfismos en conxuntos linearmente ordenados cumpren a reflexividade, a simetría e a transitividade, é dicir:[4] Modelo:Teorema

Historia e concepto[editar | editar a fonte]

No século XX precisouse en matemáticas a noción intuitiva de estrutura, seguindo a concepción de Aristóteles da materia e a forma, segundo a que cada estrutura é un conxunto X dotado de certas operacións (como a suma ou o produto) ou de certas relacións (como unha ordenación) ou certos subconxuntos (como no caso da topoloxía). Neste caso, o conxunto X é a materia e as operacións, relacións etc., nel definidas, son a forma.

O descubrimento de Platón de que a forma é o que importa recóllese en matemáticas co concepto de isomorfismo. Unha aplicación f:X→Y entre dous conxuntos dotados do mesmo tipo de estrutura é un isomorfismo cando cada elemento de Y provén dun único elemento de X e f transforma as operacións, relacións etc., que hai en X nas que hai en Y. Cando entre dúas estruturas hai un isomorfismo, ambas son indistinguibles, teñen as mesmas propiedades, e calquera enunciado é simultaneamente certo ou falso. Por iso en matemáticas as estruturas deben clasificarse salvo isomorfismos.

No século XX o biólogo e filósofo da ciencia austríaco, Ludwig von Bertalanffy, recuperou este concepto como elemento na formulación da súa Teoría xeral de sistemas. Para este autor existían unha serie de coincidencias na evolución dos procesos que se levan a cabo en diferentes campos do coñecemento (a bioloxía, a demografía, a física, a sociedade etc.) ás que denominou isomorfismo.[5] Resultaba importante para a formulación da nova teoría, debido a que «o isomorfismo atopado entre diferentes terreos se funda na existencia de principios xerais de sistemas, dunha teoría xeral dos sistemas máis o menos ben desenvolvidos».[6]

Isomorfismo parcial[editar | editar a fonte]

Está definido por:[4]

Un isomorfismo parcial entre dous conxuntos ordenados e é unha función bixectiva con tal que para todo tense que: se e só se .

Exemplos de isomorfismos[editar | editar a fonte]

Se X é o conxunto dos números reais positivos co produto e Y é o conxunto dos números reais coa suma, a función logarítmica ln:X→Y é un isomorfismo, porque e cada número real é o logaritmo dun único número real positivo. Isto significa que cada enunciado sobre o produto de números reais positivos ten (sen máis que substituír cada número polo seu logaritmo) un enunciado equivalente en termos da suma de números reais, que adoita ser máis simple.

Outro exemplo: se no espazo E escollemos unha unidade de lonxitude e tres eixes mutuamente perpendiculares que concorren nun punto, entón a cada punto do espazo podemos asociarlle as súas tres coordenadas cartesianas, obtendo así unha aplicación f:E→R³ no conxunto das sucesións de tres números reais. Cando en E consideramos a distancia que define a unidade de lonxitude fixada e en R³ consideramos a distancia que define a raíz cadrada da suma dos cadrados das diferenzas, f é un isomorfismo. Este descubrimento fundamental de Descartes permite enunciar calquera problema da xeometría do espazo en termos de sucesións de tres números reais.

Características do isomorfismo[editar | editar a fonte]

O descubrimento dun isomorfismo entre dúas estruturas significa esencialmente que o estudo de cada unha pode reducirse ao da outra, o que nos dá dous puntos de vista diferentes sobre cada cuestión e adoita ser esencial para a súa adecuada comprensión. Tamén significa unha analoxía como unha forma de inferencia lóxica baseada na asunción de que dúas cousas son a mesma nalgúns aspectos, aqueles sobre os que está feita a comparación. Nas ciencias sociais, un isomorfismo consiste na aplicación dunha lei análoga por non existir unha específica ou tamén a comparación dun sistema biolóxico cun sistema social, cando se trata de definir a palabra "sistema". Tamén o é a imitación ou copia dunha estrutura tribal nun hábitat con estrutura urbana.

Os morfismos[editar | editar a fonte]

Os isomorfismos dunha estrutura con ela mesma de xeito bixectivo denomínanse automorfismos.[7]

En xeral, nunha categoría arbitraria, os isomorfismos defínense por ser os morfismos f:X→Y que admiten un morfismo inverso h:Y→X, inverso tanto pola dereita como pola esquerda. Poden non ser os morfismos bixectivos, como xa ocorre no caso dos espazos topolóxicos.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Awodey, Steve (2006). "Isomorphisms". Category theory. Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612. 
  2. Mathworld
  3. Casanovas, E. (1998). "Teoría axiomática de conxuntos" (PDF). Universidade de Barcelona: 5, 6, 7. Consultado o 23 de abril de 2013. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Hrbecek, Karel; Jech, Thomas (1999). Introdution to Set Theory (en inglés). Marcel Dekker, Inc. pp. 36,58. 
  5. Von Bertalanfffy, Ludwing (2009). Teoría General dos Sistemas. Fondo de Cultura Económica. p. 82-88. ISBN 978-968-16-0627-5. 
  6. Von Bertalanffy, Ludwing (2009). Teoria General de los Sistemas. Fondo de Cultura Económica. p. 86. 
  7. "Automorphism - from Wolfram MathWorld".