Isomorfismo

En matemáticas, un isomorfismo (do grego iso-morfos: Igual forma) é un homomorfismo (ou máis xeralmente un morfismo) que admite un inverso. O concepto matemático de isomorfismo pretende captar a idea de ter a mesma estrutura. Dúas estruturas matemáticas entre as que existe unha relación de isomorfismo chámanse isomorfas.

En varias áreas das matemáticas, os isomorfismos recibiron nomes especializados, dependendo do tipo de estrutura que se considere. Por exemplo:

• Unha isometría é un isomorfismo de espazos métricos.
• Un homeomorfismo é un isomorfismo de espazos topolóxicos.
• Un difeomorfismo é un isomorfismo de espazos equipados cunha estrutura diferencial, normalmente variedades diferenciables.
• Un simplectomorfismo é un isomorfismo de variedades simplécticas.
• Unha permutación é un automorfismo dun conxunto.
• En xeometría, os isomorfismos e os automorfismos denomínanse a miúdo transformacións, por exemplo transformación ríxida, transformación afín, transformación proxectiva.

A teoría das categorías, que pode verse como unha formalización do concepto de mapeo entre estruturas, proporciona unha linguaxe que pode ser usada para unificar o enfoque destes diferentes aspectos da idea básica.

Definición formal

Pódese definir concisamente como un homomorfismo bixectivo tal que a súa inversa é tamén un homomorfismo. Isto é:

Un isomorfismo entre dous conxuntos ordenados $(P,\leq )$ e $(Q,\leq ')$ é unha función bixectiva ${\begin{array}{rrcl}h:P\to Q\\\end{array}}$ tal que:
Para todo $p_{1},p_{2}\in P$ se ten que $p_{1}\leq p_{2}$ se e só se $h(p_{1})\leq 'h(p_{2})$.

Se existe un isomorfismo entre $(P,\leq )$ e $(Q,\leq ')$, entón $(P,\leq )$ e $(Q,\leq ')$ chámanse isomorfos e a bixección $h$ coñécese como isomorfismo entre $(P,\leq )$ e $(Q,\leq ')$.

Se $P=Q$ dise que o isomorfismo é un automorfismo. Pódese demostrar que dado un conxunto ben ordenado o único automorfismo posible é a función identidade.

Propiedades nas ordes totais

Os isomorfismos en conxuntos linearmente ordenados cumpren a reflexividade, a simetría e a transitividade, é dicir:

Sexan $(A,\leq )$, $(B,\leq ')$ e $(C,\leq '')$ conxuntos linearmente ordenados, entón: $(A,\leq )$ é isomorfo a $(A,\leq )$. Se $(A,\leq )$ é isomorfo a $(B,\leq ')$, entón $(B,\leq ')$ é isomorfo a $(A,\leq )$. Se $(A,\leq )$ é isomorfo a $(B,\leq ')$ e á súa vez, $(B,\leq ')$ é isomorfo a $(C,\leq '')$ entón $(A,\leq )$ é isomorfo a $(C,\leq '')$.

Historia e concepto

No século XX precisouse en matemáticas a noción intuitiva de estrutura, seguindo a concepción de Aristóteles da materia e a forma, segundo a que cada estrutura é un conxunto X dotado de certas operacións (como a suma ou o produto) ou de certas relacións (como unha ordenación) ou certos subconxuntos (como no caso da topoloxía). Neste caso, o conxunto X é a materia e as operacións, relacións, etc. nel definidas son a forma.

A idea de Platón sobre a importancia da forma recóllese en matemáticas co concepto de isomorfismo. Unha aplicación f:X→Y entre dous conxuntos dotados do mesmo tipo de estrutura é un isomorfismo cando cada elemento de Y provén dun único elemento de X e f transforma as operacións, relacións etc., que hai en X nas que hai en Y. Cando entre dúas estruturas hai un isomorfismo, ambas son indistinguibles, teñen as mesmas propiedades, e calquera enunciado é simultaneamente certo ou falso. Por iso en matemáticas as estruturas deben clasificarse salvo isomorfismos.

No século XX, o biólogo e filósofo da ciencia austríaco Ludwig von Bertalanffy recuperou este concepto como elemento da súa Teoría xeral de sistemas. Para este autor existían unha serie de coincidencias na evolución dos procesos que se levan a cabo en diferentes campos do coñecemento (a bioloxía, a demografía, a física, a sociedade etc.) ás que denominou isomorfismo. Resultaba importante para a formulación da nova teoría, debido a que «o isomorfismo atopado entre diferentes terreos se funda na existencia de principios xerais de sistemas, dunha teoría xeral dos sistemas máis o menos ben desenvolvidos».

Isomorfismo parcial

Está definido por:

Un isomorfismo parcial entre dous conxuntos ordenados $(P,\leq )$ e $(Q,\leq ')$ é unha función bixectiva ${\begin{array}{rrcl}h:X\to Q\\\end{array}}$ con $X\subseteq P$ tal que para todo $p_{1},p_{2}\in X$ tense que: $p_{1}\leq p_{2}$ se e só se $h(p_{1})\leq 'h(p_{2})$.

Exemplos de isomorfismos

Logaritmo

Se X é o conxunto dos números reais positivos co produto e Y é o conxunto dos números reais coa suma, a función logarítmica ln:X→Y é un isomorfismo, porque $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ e cada número real é o logaritmo dun único número real positivo. Isto significa que cada enunciado sobre o produto de números reais positivos ten (sen máis que substituír cada número polo seu logaritmo) un enunciado equivalente en termos da suma de números reais, que adoita ser máis simple.

Xeometria

Se no espazo $E$ escollemos unha unidade de lonxitude e tres eixes mutuamente perpendiculares que concorren nun punto, entón a cada punto do espazo podemos asociarlle as súas tres coordenadas cartesianas, obtendo así unha aplicación $f:E\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ no conxunto das sucesións de tres números reais. Cando en $E$ consideramos a distancia que define a unidade de lonxitude fixada e en $\mathbb {R} ^{3}$ consideramos a distancia que define a raíz cadrada da suma dos cadrados das diferenzas, $f$ é un isomorfismo. Este descubrimento fundamental de Descartes permite enunciar calquera problema da xeometría do espazo en termos de sucesións de tres números reais.

Enteiros módulo 6

Considere o grupo $(\mathbb {Z} _{6},+),$ os números enteiros de 0 a 5 con adición módulo 6. Considere tamén o grupo $\left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),$ os pares ordenados onde as coordenadas x poden ser 0 ou 1, e as coordenadas y poden ser 0 , 1 ou 2, onde a suma na coordenada x é módulo 2 e a suma na coordenada y é módulo 3.

Estas estruturas son isomorfas baixo a adición, baixo o seguinte esquema:

$${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$$

ou en xeral $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$

Por exemplo, $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ que se traduce no outro sistema como $1+3=4.$

Aínda que estes dous grupos "parecen" diferentes en canto que os conxuntos conteñen elementos diferentes, son de feito "isomórficos": as súas estruturas son exactamente as mesmas. Máis xeralmente, o produto directo de dous grupo cíclicos $\mathbb {Z} _{m}$ e $\mathbb {Z} _{n}$ é isomorfo a $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ se e só se m e n son coprimos, segundo o teorema chinés do resto.

Características do isomorfismo

O descubrimento dun isomorfismo entre dúas estruturas significa esencialmente que o estudo de cada unha pode reducirse ao da outra, o que nos dá dous puntos de vista diferentes sobre cada cuestión e adoita ser esencial para a súa adecuada comprensión. Tamén significa unha analoxía como unha forma de inferencia lóxica baseada na asunción de que dúas cousas son a mesma nalgúns aspectos, aqueles sobre os que está feita a comparación. Nas ciencias sociais, un isomorfismo consiste na aplicación dunha lei análoga por non existir unha específica ou tamén a comparación dun sistema biolóxico cun sistema social, cando se trata de definir a palabra "sistema". Tamén o é a imitación ou copia dunha estrutura tribal nun hábitat con estrutura urbana.

Os morfismos

Os isomorfismos dunha estrutura con ela mesma de xeito bixectivo denomínanse automorfismos.

En xeral, nunha categoría arbitraria, os isomorfismos defínense por ser os morfismos f:X→Y que admiten un morfismo inverso h:Y→X, inverso tanto pola dereita como pola esquerda. Poden non ser os morfismos bixectivos, como xa ocorre no caso dos espazos topolóxicos.