Matriz (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

Unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular.

Unha matriz con m filas e con n columnas dise unha matriz m x n

Filas son horizontais: matiz 4x4‎ Columnas son verticais ‎ MATRIZ 4x4

Un elemento dunha matriz A que está na i-ésima liña e na j-ésima columna é chamado elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. É escrito como Ai,j ou A[i,j].

Definición[editar | editar a fonte]

Unha matriz en R é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel R, é dicir, que os elementos disporanse en filas e columnas e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto.[1] A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo K, en particular, ás matrices reais ou complexas, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus elementos. As liñas horizontais chámanse filas, e as verticais, columnas.

Orde[editar | editar a fonte]

Unha matriz de orde m×n ou, xeralmente, unha matriz m×n é unha matriz con m filas e n columnas, e m e n son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz A anterior é unha matriz 2×3. A matriz 1×n será unha matriz fila, e a matriz n×1 será unha matriz columna.

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde m×n, usaremos , onde é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e m=n, usaremos a notación de

Notación[editar | editar a fonte]

As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz A: o elemento de A na fila i e na columna j denótase por aij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

Deste xeito, se:

entón a23 = 1 e a11 = 4. Ás veces, utilizarase Aij para representar aij e a notación de (aij) para referirse á matriz A cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outras notación, nas que se escribirá para indicar o mesmo elemento.[2] Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos onde é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices e son iguais cando teñen a mesma orde m×n e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, .

No estudio das matrices, adoitase chamar escalar aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

Operacións de matrices[editar | editar a fonte]

Multiplicación por un escalar[editar | editar a fonte]

A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número calquera por unha matriz m×n , basta multiplicar cada elemento de por . Así, a matriz resultante será tamén m×n e . Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: encanto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

Adición de matrices[editar | editar a fonte]

Se e son dúas matrices da mesma orde m×n, entón a suma é a matriz de orde m×n que se obtén ao sumar os elementos de cos elementos de que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices e de mesma orde, e , entón a suma .

Por exemplo:

.

A matriz escríbese , e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices e de mesma orde, e , entón a diferenza .

Transposición[editar | editar a fonte]

Se é unha matriz de orde m×n, entón a matriz trasposta de é a matriz n×m que se forma intercambiando as filas e as columnas de , isto é, .

Por exemplo:

Produto de matrices[editar | editar a fonte]

O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se é unha matriz m×n e é unha matriz n×p, entón o produto é unha matriz m×p é .

Por exemplo:

Álxebra de matrices[editar | editar a fonte]

Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices , , da mesma orde e , escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

  1. Conmutabilidade:
  2. Asociatibidade:
  3. Elemento neutro da suma de matrices: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz tal que para calquera matriz
  4. Elemento oposto da suma de matrices: Para toda matriz existe unha matriz tal que
  5. Distributibidade respecto a suma de matrices:
  6. Distributibidaderespecto a suma de escalares:
  7. onde é o elemento neutro do produto do anel R ao que pertence o escalar.

Propiedades do produto de matrices[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices , , das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

  1. Conmutabilidade:
  2. Asociatibidade pola esquerda:
  3. Asociatibidade pola dereita:
  4. Se té orde m×n,

En xeral, observamos que o produto de matrices dúas matrices e é non conmutativo:

  • Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
  • De seren dúas matrices cadradas, os produtos e estarán definidos, pero non teñen porque coincidir, como no seguinte exemplo:
Exemplo:   e  as matrices non conmutan.

De coincidiren, e diremos que as matrices e conmutan.

Propiedades da transposición[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices , das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

Matriz cadrada[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde nxn ou, simplemente, de orde n. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma como diagonal principal.

Principais tipos[editar | editar a fonte]

Matrices diagonais e triangulares[editar | editar a fonte]

Nome Exemplo con n=3 Definición
Matriz diagonal
Matriz triangular inferior
Matriz triangular superior

Se todos os elementos da matriz por debaixo da diagonal principal son nulos , é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que é unha matriz diagonal.

Se os elementos da diagonal son , defínese como a matriz diagonal na que .

Matriz identidade[editar | editar a fonte]

A matriz identidade de orde n é a matriz de orde nxn tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: para toda matriz de orde mxn.

Matriz simétrica e antisimétrica[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada é unha matriz simétrica se , mais se , entón é unha matriz antisimétrica.

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se é unha matriz cadrada, é unha matriz simétrica e é unha matriz antisimétrica, e para calquera matriz , é unha matriz simétrica.

Matriz invertible e matriz inversa[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada de orde n, é invertible o non singular se existe unha matriz tal que , onde é a matriz identidade nxn. Se existe, entón denotarémola como a matriz inversa de ou . [3] A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

  • Se e todas son matrices cadradas e invertibles, entón .
  • Se é simétrica, entón tamén.
  • Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

Matriz ortogonal[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada é unha matriz ortogonal con elementos reais e que a súa matriz trasposta é igual a súa matriz inversa: . Deste xeito, temos que .

Operacións principais[editar | editar a fonte]

Traza[editar | editar a fonte]

A traza, , dunha matriz cadrada é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, . Un exemplo sería

Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo . Tamén temos que a traza dunha matriz é ten a mesma traza que a súa trasposta, isto é, .

Determinante[editar | editar a fonte]

O determinante ou dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto á que cumpre:[4]

Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-lineal para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

  • Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante non é cero.
  • , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
  • O seu valor absoluto equivale á área (en ), ao volume (en ) ou ao volume xeneralizado (en ) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
  • Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.

Ecuacións lineais[editar | editar a fonte]

A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices , onde

Como neste caso temos que é invertible, entón:

En xeral, se é unha matriz mxn, é unha matriz columna n×1 e é outra matriz columna m×1, entón a ecuación é equivalente ao sistema de ecuacións

Como no caso anterior, se n = m e é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Teoría de grafos[editar | editar a fonte]

En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan[5]:

  • A matriz de adxacencia, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta.
  • A matriz de incidencia, que almacena en aij un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
  • A matriz laplaciana, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de grados e a matriz de adxacencia.
  • A matriz de distancias, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.


Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Anton, Howard (2003). Introducción al Álgebra Lineal. México: Editorial Limusa, S.A. ISBN 9789681863173. 
  • Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (2002). Basic Linear Algebra. Springer. ISBN 9781852336622. 
  • Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (1986). Essential Student Algebra: Volume Two: Matrices and Vector Spaces. Springer. ISBN 978-0-412-27870-9. 
  • Lang, Serge (2002). Algebra. Nova York: Springer-Verlag New York. ISBN 0-38-795385-X. 
  • Poole, David (2011). Linear Algebra: A Modern Introduction. Brooks Cole. ISBN 0-538-73544-9. 
  • Rojo, Jesús (2007). Algebra lineal. Madrid: McGraw-Hill. ISBN 978-84-481-5635-0. 
  • Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (Quinta ed.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6. 
  • Bapat, R.B. (2010). Graphs and Matrices. Springer. ISBN 978-1-84882-980-0. 
  • Godsil, Chris; Royle, Gordon F. (2001). Algebraic graph theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387952208. 

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]


Este artigo tan só é un bosquexo
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.