Topoloxía alxébrica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
Un toro, un dos obxectos máis frecuentemente estudados en topoloxía alxébrica

A topología alxébrica é unha rama da topoloxía na que se usan as ferramentas da álxebra abstracta para estudar os espazos topolóxicos.[1] O obxectivo básico é atopar invariantes alxébricas que clasifican os espazos topolóxicos até o homeomorfismo, aínda que normalmente moitos se clasifican até a equivalencia homotópica.

O método dos invariantes alxébricos[editar | editar a fonte]

O obxectivo da topoloxía alxébrica é clasificar os espazos topolóxicos. Un nome antigo para esta materia era o de topoloxía combinatoria, que puña a énfase en como un espazo dado X podía construírse a partir de espazos máis pequenos. O método básico que se aplica agora en topoloxía alxébrica é o de investigar os espazos por medio dos invariantes alxébricos: por exemplo aplicándoos, relacionándoos cos grupos, que teñen bastante estrutura utilizable, e de maneira que se respecte a relación de homeomorfismo de espazos.

As dúas formas principais como se fai isto son a través dos grupos fundamentais, ou máis en xeral a teoría de homotopía, e por medio dos grupos de homoloxía e de cohomoloxía. Os grupos fundamentais fornecen información básica sobre a estrutura dun espazo topolóxico; pero son a miúdo non abelianos e poden ser difíciles de empregar. O grupo fundamental dun complexo simplicial (finito) ten unha presentación finita.

Os grupos de homoloxía e cohomoloxía, por outra banda, son abelianos, e en moitos casos importantes son finitamente xerados. Os grupos abelianos finitamente xerados poden clasificarse completamente e son particularmente fáciles de usar.

Resultados en homoloxía[editar | editar a fonte]

Varios resultados útiles séguense inmediatamente de traballar con grupos abelianos finitamente xerados. O rango libre do grupo de n-homoloxía dun complexo simplicial é igual ao n-número de Betti, así que se poden empregar os grupos de homoloxía dun complexo simplicial para calcular a súa característica de Euler-Poincaré. Se un grupo de n-homoloxía dun complexo simplicial ten torsión, entón o complexo é non orientable. Así que a homoloxía "codifica" gran parte da información topolóxica dun espazo topolóxico dado.

Máis aló da homoloxía simplicial, podemos usar a estrutura diferencial das variedades por medio da cohomoloxía de De Rham, ou a de Cech ou coa cohomoloxía de feixes para investigar a resolubilidade das ecuacións diferenciais definidas na variedade en cuestión. De Rham demostrou que todos estes tipos de aproximación están interrelacionados e que os números de Betti que se derivan da homoloxía simplicial eran os mesmos números de Betti que aqueles que se derivan da cohomoloxía de De Rham.

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Entre as aplicacións clásicas da topoloxía alxébrica atópanse:

Posicionamento na teoría das categorías[editar | editar a fonte]

En xeral, todas as construcións da topoloxía alxébrica son funtoriais: as nocións de categoría, funtor e transformación natural orixináronse aquí. Os grupos fundamentais, de homoloxía e cohomoloxía non son só invariantes do espazo topolóxico subxacente, no sentido de que dous espazos topolóxicos son homeomorfos se teñen asociados os mesmos grupos; unha aplicación continua de espazos induce un homomorfismo entre os grupos asociados, e estes homomorfismos poden ser usados para probar a non-existencia (ou, máis profundamente, a existencia) de aplicacións.

Problemas da topoloxía alxébrica[editar | editar a fonte]

O problema xeométrico, aberto por preto dun século, e máis famoso da topoloxía alxébrica é a conxectura de Poincaré, resolto polo ruso Grigori Perelman en 2002. O campo da teoría de homotopía contén moitos misterios, en particular a maneira correcta de describir os grupos de homotopía das esferas.

Ferramentas importantes[editar | editar a fonte]

As ferramentas importantes (como teoremas fundamentais) para o cálculo de invariantes desta teoría son:

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Munkres, James R. Topología ISBN 978-84-205-3180-9

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]