Categoría (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
Categoría formada por unha colección de tres obxectos: A, B, C e unha colección de morfismos denotados por f, g, e g ∘ f; os lazos son identidades.

En teoría de categorías, unha categoría é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de obxectos, conectados uns con outros mediante frechas tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.

Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.

Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: Con refírese á categoría de conxuntos, Top refírese á categoría de espazos topolóxicos, Ab refírese á categoría de grupos abelianos etc.

Definición[editar | editar a fonte]

Hai varias definicións equivalentes dunha categoría.[1] A máis habitual é a seguinte: unha categoría C consta de:

  • unha clase ob(C) de obxectos
  • para cada par de obxectos A, B en ob(C) un conxunto C(A,B) de frechas ou morfismos de A a B.
  • para cada terna de obxectos A, B, C de C unha función ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) onde ∘(f,g) se denota g ∘ f.

Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos:

  • Asociatividade: para calquera terna de frechas f, g, h cúmprese que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, se é que estas composicións están definidas.
  • Identidade: para todo obxecto A en ob(C) existe unha frecha en C(A,A) comunmente denotada 1A tal que para toda frecha f en C(A;B) f=1B ∘ f e f=f ∘ 1A.

Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto.

Historia[editar | editar a fonte]

A noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría xeral das equivalencias naturais).[2]

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • A categoría Con é aquela que ten como obxectos todos os conxuntos e se A e B son conxuntos, entón Con(A,B) é o conxunto de funcións con dominio A e codominio B. Esta é a categoría máis comunmente empregada nas matemáticas.
  • Calquera clase pode ser vista como unha categoría que so ten como morfismos os morfismos identidade. Chámanse categorías discretas e son o tipo máis simple de categoría.
  • Carquer conxunto preordenado (P, ≤) forma unha categoría na que os obxectos son os elementos de P e os morfismos as frechas que van de x a y cando xy.
  • Calquera monoide, grupo e grupoide poden considerarse categorías.
Grafo orientado
  • Un grafo orientado xera unha categoría: os obxectos son os vértices do grafo e os morfismos os camiños do grafo. A composición dos morfismos é a concatenación de camiños.

Construción de novas categorías[editar | editar a fonte]

Categoría dual[editar | editar a fonte]

Calquera categoría C pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase Cop.

Categorías produto[editar | editar a fonte]

Se C e D son categorías, pódese construír a categoría produto C × D: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de C e outro de D, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de C e outro de D. Estes pares poden tamén comporse.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Barr & Wells, Chapter 1.
  2. S. Eilenberg and S. Mac Lane "General Theory of Natural Equivalences", Transactions of The American Mathematical Society 01/1945; 58(2):231-231. DOI: 10.2307/1990284

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]