Curva

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Ellipse PLS en.png

Unha curva é unha liña continua, que cambia paulatinamente de dirección. Exemplos de curvas pechadas son a elipse ou a circunferencia, e de curvas abertas a parábola, a hipérbole ou a catenaria. A recta sería o caso límite dun círculo de radio de curvatura infinito. Todas as curvas teñen dimensión igual a 1.

Definicións[editar | editar a fonte]

Curva elemental[editar | editar a fonte]

Un conxunto \gamma de puntos do espazo chámase curva elemental se é a imaxe obtida no espazo por unha aplicación continua dun segmento aberto de recta.[1]

Sendo \gamma unha curva elemental e sendo a < t < b o segmento aberto no que está definida a aplicación f=(f_1,f_2,f_3) que determina a curva, ao sistema de igualdades

x = f_1(t),  y= f_2(t), z= f_3(t)

chámanselle ecuacións paramétricas da curva \gamma.[1]

Curva plana[editar | editar a fonte]

Nun sistema de coordeadas cartesianas represéntanse as curvas dalgunhas raíces, así coma das súas potencias, no intervalo [0,1]. A diagonal, de ecuación y = x, é un eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

Unha curva plana é aquela que reside nun só plano e pode ser aberta ou pechada. A representación gráfica dunha función real dunha variable real é unha curva plana.

Curva diferenzable[editar | editar a fonte]

Unha curva é diferenzable cando a función \mathbf{x}\colon [a,b] \subset \Iota \to\mathbb{R}^n é diferenciable. Se ademáis a función anterior é inxectiva no intervalo (a,b)\, entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i é rectificable, o que significa que a súa lonxitude de arco está ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva \mathbf{x}\colon [0,\infty) \to\mathbb{R}^n :


\mathbf{x}(t) = \begin{cases}
(t,t\sin\left(\frac{1}{t}\right)) & t>0 \\
(0,0) & t = 0 \end{cases}

é continua pero non diferenzable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e cualquera outro punto da mesma non pode calcularse.

Curva pechada[editar | editar a fonte]

Unha curva diferenzable es pechada cando \mathbf{x}\colon [a,b] \to\mathbb{R}^n cando \mathbf{x}(a) = \mathbf{x}(b). Se ademáis, a función \mathbf{x} é inxectiva no intervalo (a,b)\, entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple é homeomorfa ao círculo S^1, é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva \mathbf{x}\colon [0,1] \to\mathbb{R}^n dada por:


\mathbf{x}(t) = (a\cos(2\pi t), b\sin(2\pi t))

é unha curva diferenzable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos a e b.

Curva suave[editar | editar a fonte]

Chámase curva suave á curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo o círculo, a elipse ou a parábola.

Formalmente, dada una curva C representada pola ecuación paramétrica:

\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}

nun intervalo I calquera, é suave se as súas derivadas son continuas no intervalo I e non son simultáneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. 1,0 1,1 "Geometría diferencial" (1977) Pogorélov, sen ISBN pág.14

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Commons
Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Curvas