Segmento

Un segmento, na xeometría, é un fragmento de recta que está comprendido entre dous puntos.

Así, dados dous puntos A e B, chámase segmento AB á intersección da semirrecta de orixe A que contén ao punto B, e a semirrecta de orixe B que contén o punto A. Os puntos A e B denomínanse extremos do segmento, e os puntos da recta á que pertence o segmento (recta sostén), serán interiores ou exteriores ao segmento segundo pertenzan ou non a este, e dicir, sexan coñecibles ou non.

A lonxitude dun segmento no plano euclideano se temos que as coordenadas dos puntos extremos son $A=(x_{a},y_{a}),B=(x_{b},y_{b})$ sería:

L={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}

,

que se deduce facilmente do teorema de Pitágoras.

Por exemplo, para un segemento que vaia desde a orixe $(x=0,y=0)$ do plano ata o punto : $(x=3,y=4)$ temos : $L={\sqrt {(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}}={\sqrt {9+16}}=5$ .

En espazos vectoriais reais ou complexos

Se $V$ é un espazo vectorial sobre $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C} ,$ e $L$ é un subconxunto de $V$ , entón $L$ é un segmento de recta se $L$ pode parametrizarse como

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}

para algúns vectores $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ onde $v$ é distinto de cero. Os extremos de $L$ son entón os vectores $u$ e $u + v$ .

Ás veces, é necesario distinguir entre segmentos de recta "abertos" e "pechados". Neste caso, definiríase un segmento de liña pechado como se indicou anteriormente e un segmento de liña aberto como un subconxunto $L$ que se pode parametrizar como

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}

(aquí o intervalo (0, 1) está aberto).

para algúns vectores $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.$

De xeito equivalente, un segmento de liña é a envolvente convexa de dous puntos. Polo tanto, o segmento de recta pódese expresar como unha combinación convexa dos dous puntos extremos do segmento.

En xeometría, poderíase definir o punto $B$ como situado entre outros dous puntos $A$ e $C$ , se a distancia $| AB |$ engadida á distancia $| BC |$ é igual á distancia $| AC |$ . Así, en $\mathbb {R} ^{2},$ o segmento de recta con extremos $A=(a_{x},a_{y})$ e $C=(c_{x},c_{y})$ é a seguinte colección de puntos:

{\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.

Casos especiais

Un segmento chámase

Lado se os dous extremos son os vértices adxacentes dun polígono;
Aresta se os dous extremos son vértices adxacentes dun poliedro;
Diagonal se os dous extremos son os vértices non adxacentes dun polígono;
Corda se os dous extremos dunha curva, como por exemplo nunha circunferencia.

Propiedades

Un segmento de recta é un conxunto conexo e non baleiro.
Se $V$ é un espazo vectorial topolóxico, entón un segmento de recta pechado é un conxunto pechado en $V$ . No entant, un segmento de recta aberto é un conxunto aberto en $V$ se e só se $V$ é unidimensional.
De forma máis xeral que a anterior, o concepto de segmento de recta pódese definir nunha xeometría ordenada.
Nun plano os segmentos de recta poden ser : intersecantes, paralelos, oblicuos non secantes. A última posibilidade é unha forma en que os segmentos de recta difiren das rectas: se dúas rectas non paralelas están no mesmo plano euclidiano, entón deben cruzarse, pero iso non ten por que ser certo para os segmentos.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

David Hilbert The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4

Outros artigos

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. "Line segment". MathWorld.
Line Segment at PlanetMath