Plano (xeometría)

Gráfica de dúas hipérboles e as súas asíntotas no plano cartesiano.

Representación gráfica informal dun plano.

En xeometría, un plano é un obxecto ideal que só posúe dúas dimensións, e contén infinitos puntos e rectas; é un concepto fundamental da xeometría xunto co punto e a recta.

Cando se fala dun plano, está a falarse do obxecto xeométrico que non posúe volume, é dicir é bidimensional, e que contén un número infinito de rectas e puntos. Con todo, cando o termo se emprega en plural, está a falarse daquel material que se constrúe como unha representación gráfica de superficies en diferentes posicións. Os planos son especialmente empregados en enxeñaría, arquitectura e deseño xa que serven para diagramar nunha superficie plana ou noutras superficies que son regularmente tridimensionais.

Un plano queda definido polos seguintes elementos xeométricos:

• Tres puntos non aliñados.
• Unha recta e un punto exterior a ela.
• Dúas rectas paralelas ou dúas rectas que se cortan.

Os planos adoitan nomearse cunha letra do alfabeto grego.

Adoita representarse graficamente, para a súa mellor visualización, como unha figura delimitada por bordos irregulares (para indicar que o debuxo é unha parte dunha superficie infinita).

Nun sistema de coordenadas cartesianas, un punto do plano queda determinado por un par ordenado, chamados abscisa e ordenada do punto. Mediante ese procedemento a todo punto do plano correspóndenlle sempre dous números reais ordenados (abscisa e ordenada), e reciprocamente, a un par ordenado de números correspóndelle un único punto do plano. Consecuentemente o sistema cartesiano establece unha correspondencia biunívoca entre un concepto xeométrico como é o dos puntos do plano e un concepto alxébrico como son os pares ordenados de números. En coordenadas polares por un ángulo e unha distancia. Esta correspondencia constitúe o fundamento da xeometría analítica.

A área é unha medida de extensión dunha superficie, ou dunha figura xeométrica plana expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas o concepto é máis intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos, por exemplo un polígono, pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma das áreas deses triángulos. Ocasionalmente emprégase o vocábulo "área" como sinónimo de superficie, cando non existe confusión entre o concepto xeométrico en si mesmo (superficie) e a magnitude métrica asociada ao concepto xeométrico (área).

Propiedades do plano ℝ³

Intersección de dous planos nun espazo tridimensional. Representación isométrica de dous planos perpendiculares.

Nun espazo euclidiano tridimensional ℝ³, podemos achar os seguintes feitos, que non son necesariamente válidos para dimensións maiores.

• Dous planos ou son paralelos ou intersécanse nunha liña.
• Unha liña é paralela a un plano ou intersecta ao mesmo nun punto ou é contida polo plano mesmo.
• Dúas liñas perpendiculares a un mesmo plano son necesariamente paralelas entre si.
• Dous planos perpendiculares a unha mesma liña son necesariamente paralelos entre si.
• Entre un plano Π calquera e unha liña non perpendicular ao mesmo existe só un plano que contén a liña e é perpendicular ao plano Π.
• Entre un plano Π calquera e unha liña perpendicular ao mesmo existe un número infinito de planos tal que conteñen a liña e son perpendiculares ao plano Π.

Ecuación do plano

Un plano queda definido polos seguintes elementos xeométricos: un punto e dous vectores:

Punto P = (x₁, y₁, z₁)
Vector u = (u_x, u_y, u_z)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

$(x,y,z)=(x_{1},y_{1},z_{1})+m(u_{x},u_{y},u_{z})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!$

Esta é a forma vectorial do plano; con todo a forma máis utilizada é a reducida, resultado de igualar a cero o determinante formado polos dous vectores e o punto xenérico X = (x, y, z) co punto dado. Deste xeito a ecuación do plano é:

${\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0=>{\begin{vmatrix}x-P_{x}&y-P_{y}&z-P_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}=0=>Ax+By+Cz+D=0$

Onde (A, B, C) é un vector perpendicular ao plano, coincide co produto vectorial dos vectores ou e v. A fórmula para determinar a ecuación cando non está na orixe é:

$a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0\,$

Posición relativa entre dous planos

Se temos un plano 1 cun punto A e un vector normal 1, e tamén temos un plano 2 cun punto B e un vector normal 2.

As súas posicións relativas poden ser:

• Planos coincidentes: a mesma dirección dos vectores normais e o punto A pertence ao plano 2.
• Planos paralelos: se teñen a mesma dirección os vectores normais e o punto A non pertence ao plano 2.
• Planos secantes: se os vectores normais non teñen a mesma dirección.

Distancia dun punto a un plano

Para un plano calquera $\Pi :ax+by+cz+d=0\,$ e un punto calquera $\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ non necesariamente contido no plano Π, a menor distancia entre P₁ e o plano Π é:

$D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$

Do anterior dedúcese que o punto P1 pertencerá ao plano Π se e só se D=0.

Se os coeficientes a, b e c da ecuación canónica dun plano calquera están normalizados, é dicir cando ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$, entón a fórmula anterior de distáncia D redúcese a :$D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.$

Semiplano

Plano cuadriculado.

Chámase semiplano, en xeometría, a cada unha das dúas partes nas que un plano queda dividido por unha recta.

Postulados da división dun plano

En cada par de semiplanos que unha recta r determina sobre un plano, existen infinitos puntos tales que:

1. Todo punto do plano pertence a un dos dous semiplanos, ou á recta que os determina.
2. Dous puntos do mesmo semiplano, determinan un segmento que non corta a recta r.
3. Dous puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a recta r.

Véxase tamén

Outros artigos

• Xeometría plana
• Espazo euclidiano
• Plano proxectivo

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. «Plano». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• "Reducindo a dificultade da xeometría aritmética e planar" é un manuscrito árabe do século 15, que serve como un tutorial sobre xeometría plana e a aritmética