Tanxente

En matemáticas, a palabra tanxente fai referencia a dous significados diferentes, pero etimoloxicamente relacionados: recta tanxente e tanxente dun ángulo.

En xeometría, unha recta tanxente é aquela que só ten un punto en común cunha curva, é dicir, que se tocan nun so punto, ese punto chámase punto de tanxencia.^[1] A recta tanxente indica a pendente da curva no punto de tanxencia.
En trigonometría, a tanxente dun ángulo é a relación entre os catetos dun triángulo rectángulo: é o valor numérico resultante de dividir a lonxitude do cateto oposto entre a do cateto adxacente a dito ángulo.

Xeometría

A recta tanxente (ou simplemente tanxente) é a posición límite da recta ou o límite do cono métrico (M) (chamada corda da curva), cando A é un punto de C que se aproxima indefinidamente ó punto M (A desprázase sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Se C representa unha función f ou ben h que representa a cotanxente de A. (non é o caso no gráfico precedente), entón a recta (AM) terá como coeficiente director (ou pendente)

{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

, onde

a

é a abscisa de

A

e

x

é a abscisa de

M

.

Polo tanto, a pendente da tanxente $T_{A}$ será:

\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

É, por definición: $f'(a)$ , o número derivado de f en a.

A ecuación da tanxente é $T_{A}:y=f'(a)\cdot (x-a)+f(a)$ .

A recta ortogonal á tanxente $T_{A}$ que pasa polo punto $(a,f(a))$ denomínase recta normal e a súa pendente, nun sistema de coordenadas cartesianas, vén dada por ${\frac {-1}{f'(a)}}$ .

A súa ecuación é : $y=-(x-a)/f'(a)+f(a)$ , sempre que $f'(a)\neq 0$ . Esta recta non intervén no estudo xeral das funcións pero si nos problemas xeométricos relacionados coas seccións cónicas, como por exemplo: para determinar o foco dunha parábola.

Plano tanxente

En xeometría diferencial, espazo tanxente é o conxunto asociado a cada punto dunha variedade diferenciable formado por tódolos vectores tanxentes a ese punto. É un espazo vectorial da mesma dimensión que a dimensión da variedade.

Hai varias formas de entender este concepto. Primeiro explicarémolo usando a gráfica do lado. Empezamos supoñendo que temos unha curva $\gamma$ na variedade M que pasa por algunha posición elixida calquera: $x\in M$ . É dicir un mapeo $\gamma \ :\ ]-\varepsilon ,\varepsilon [\to M$ diferenciable que satisfai $\gamma (0)=x$ e $\gamma '(0)=v$ . Resulta que o conxunto de todos estes vectores forman o espazo tanxente $T_{x}M$ de x en M.