Elipse (xeometría)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Intersección dunha superficie cónica cun plano.

Unha elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é unha constante positiva e igual á distancia entre os vértices.

Unha elipse é a curva cerrada que resulta de cortar a superficie dun cono por un plano oblicuo ao seu eixo de simetría –cun ángulo maior que o da xeratriz respecto do eixo de revolución.[1] Unha elipse que xira arredor do seu eixo menor xera un esferoide achatado, mentres que unha elipse que xira arredor do seu eixo principal xera un esferoide alargado.

ElipseAnimada.gif

Historia[editar | editar a fonte]

A elipse, como curva xeométrica, foi estudada por Menaechmus, investigada por Euclides, e o seu nome atribúeselle a Apolonio de Perge. O foco e a directriz da sección cónica dunha elipse foron estudadas por Pappus. En 1602, Kepler cría que a órbita de Marte era ovalada, pero máis tarde descubriu que se trataba dunha elipse, co Sol como foco. De feito, Kepler foi quen introduciu a verba «focus» e publicou o seu descubrimento en 1609. Halley, en 1705, demostrou que o cometa que agora leva o seu nome trazaba unha órbita elíptica arredor do Sol.[2]

Elementos dunha elipse[editar | editar a fonte]

Elementos de una elipse.

A elipse posúe un «eixo maior», trazo AB (que equivale a  \,  {2a} ), e un «eixo menor», trazo CD; a metade de cada un deses eixos recibe o nome de «semieixo» («semieixo maior» e «semieixo menor»).

Sobre o eixe maior existen dous puntos  \,  {F_1} y  \,  {F_2} que se lles chaman «focos».

O punto  \,  {Q} pode estar localizado en calquera lugar do perímetro da elipse.

Puntos dunha elipse[editar | editar a fonte]

Se 'F_1' e 'F_2' son dous puntos do plano e d é unha constante maior que a distancia F_1F_2, un punto Q pertencerá á elipse, se:

F_1 Q + F_2 Q = d = 2a \,

onde a\; é o semieixo maior da elipse.

Excentricidade dunha elipse[editar | editar a fonte]

A excentricidade dunha elipse é a razón entre a súa semidistancia focal (segmento F_1 D ou F_2 D), denominada pola letra 'c', e o seu semieixo maior. O seu valor atópase entre cero e un.


e=\frac{c}{a} , con (0 < e < 1)


Dado que c = \sqrt{a^2-b^2} , tamén vale a relación:


e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}
    =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}


A excentricidade indica a forma duna elipse; unha elipse será máis redondeada canto máis se aproxime a súa excentricidade ao valor cero.[3]

Constante da elipse[editar | editar a fonte]

Ellipse Animation Small.gif

Unha elipse, por definición, a suma da lonxitude de ambos segmentos (azul + vermello) é unha cantidade constante, a cal sempre é igual á lonxitude do eixo maior.

Na elipse da dereita, a constante é 10. Equivale á lonxitude medida dende o foco  \,  {F_1} ao punto  \, {Q} (localizado en calquera lugar da elipse) sumada á lonxitude dende o foco  \, {F_2} até ese mesmo punto  \, {Q} . (O segmento de cor azul sumado ao de cor vermella).

O segmento correspondente, tanto trazo  \,  {QF_1} (color azul), como ao  \, {QF_2} (cor vermella), chámase «radio vector». Os dous «focos» equidistan do centro  \,  {0} . Na animación, o punto  \, Q recorre a elipse, e nel converxen ambos segmentos (azul e vermello).

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Se o ángulo de plano intersección, respecto do eixo de revolución, é menor que o comprendido entre a xeratriz e o eixo de revolución, a intersección será una hipérbole. Sería unha parábola se fose paralelo ao eixo, e unha circunferencia se é perpendicular ao dito eixo.
  2. Mathworld: Ellipse.
  3. Exemplos de excentricidade dunha elipse, en geometriadinamica.es(en castelán)

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]