Espazo topolóxico

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Catro exemplos e dous anti-exemplos de topoloxías no conxunto de tres puntos {1,2,3}.
O exemplo inferior esquerdo non é unha topoloxía, pois a unión {2} e {3}, igual a {2,3}, non é parte da colección.
O exemplo inferior dereito tampouco é unha topoloxía porque a intersección de {1,2} e {2,3}, igual a {2}, non é parte da colección.

Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.

Definición[editar | editar a fonte]

Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, de obxectos Oi, satisfán as seguintes propiedades:

1. O conxunto baleiro e E están en T.

 \quad \varnothing \in T, E \in T

2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T.

\quad (O_1 \in T, O_2 \in T) \Rightarrow (O_1 \cap O_2 \in T)

3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T.

\quad (\forall i \in I, O_i \in T) \Rightarrow (\cup_{i\in I} O_i \in T)
Esta condición tamén pode escribir:
\quad \forall S \subset T, \cup_{O\in S} O \in T

Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.

A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.

Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.

Un espazo topolóxico é un par ( E, \tau)\,\! onde E\,\! é un conxunto e \tau\,\! é unha topoloxía en E\,\!.

Exemplos[editar | editar a fonte]