Característica de Euler

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

En matemática, e en particular en topoloxía alxébrica, a característica de Euler ou característica de Euler-Poincaré é un invariante topolóxico, un número definido que serve para ampliar unha clase de espazos topolóxicos. Denótase xeralmente por (a letra grega khi).

Característica de Euler en poliedros[editar | editar a fonte]

A característica de Euler dun politopo de tres dimensións (poliedro) pode calcularse empregando a fórmula seguinte:

onde C, A e V son os números de caras, de arestas e de vértices respectivamente. En particular, para calquera poliedro homeomorfo a unha esfera tense

Por exemplo, para un cubo tense 6 - 12 + 8 = 2 e para un tetraedro tense 4 - 6 + 4 = 2. A fórmula anterior tamén se chama fórmula de Euler, que se pode demostrar por indución matemática.

Outros exemplos poden atoparse na seguinte táboa

Nome Imaxe Vértices
V
Arestas
A
Caras
C
Característica de Euler:
VA + C
Tetraedro Tetrahedron.png 4 6 4 2
Cubo Hexahedron.png 8 12 6 2
Octaedro Octahedron.png 6 12 8 2
Dodecaedro Dodecahedron.png 20 30 12 2
Icosaedro Icosahedron.png 12 30 20 2

Un poliedro que non sexa homeomorfo a unha esfera, como o poliedro toroidal da figura, que ten 48 caras, 22 vértices e 70 arestas obtense 22 - 70 + 48 = 0.

Poliedro toroidal de 48 caras

Táboa coas característica de Euler doutros poliedros

Nome Imaxe Vértices
V
Arestas
A
Caras
C
Característica de Euler :
VA + C
Tetrahemihexaedro Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Octahemioctaedro Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Cubohemioctaedro Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2
Grande icosaedro Great icosahedron.png 12 30 20 2

Xeneralización ás superficies[editar | editar a fonte]

Esfera triangulada a partir dun icosaedro.

Unha superficie compacta como a esfera, o toro, o bitoro, un disco con bordo etc. xorde de deformar de forma continua un poliedro. Por exemplo, se se deforma un icosaedro ata obter unha esfera as arestas transfórmanse en curvas sobre a esfera, as caras son "triángulos" e os vértices puntos sobre as mesmas. Así, a esfera quedará "triangulada". Para definir a característica dunha superficie empréganse estas triangulacións realizando a fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidade as triangulacións non deben facerse necesariamente con triángulos, senón con calquera polígono, tendo en conta que dous polígonos só compartan unha aresta como máximo, e que, se comparten un lado, só compartan os dous vértices dese lado. Así a xeneralización da característica de Euler para unha superficie cerrada S é

A característica de Euler de superficies orientadas pechadas relaciónase co seu xénero g, que é un número que describe a cantidade de «asas» que ten a superficie. A relación vén dada por:

Por exemplo: o toro ten unha asa e polo tanto .

Definición xeral e propiedades[editar | editar a fonte]

Para un CW-complexo finito e en particular para un complexo simplicial finito, a característica de Euler pode definirse como a suma alternada

onde ki denota o número de células de dimensión i.

Entón, pode definirse a característica de Euler dunha variedade como a característica de Euler dun complexo simplicial homeomorfo a el. Por exemplo, o círculo e o toro teñen característica de Euler 0 e as bólas sólidas teñen característica de Euler 1.

A característica de Euler é independente da triangulación. A fórmula pode tamén empregarse para as descomposicións en polígonos arbitrarios.

Para as variedades pechadas, a característica de Euler coincide co número de Euler, é dicir, a clase de Euler do seu fibrado tanxente avaliado na clase fundamental da variedade.

Para as variedades de Riemann pechadas, a característica de Euler pode atoparse tamén integrando a curvatura. Un análogo discreto do teorema de Gauss-Bonnet é o teorema de Descartes que indica que o "defecto total" dun poliedro, medido en círculos completos, é a característica de Euler do poliedro.

Máis xeralmente aínda, para calquera espazo topolóxico, podemos definir o n-ésimo número de Betti bn como o rango do n-ésimo grupo de homoloxía. A característica de Euler pode definirse entón como a suma alternada

Esta definición ten sentido se os números de Betti son todos finitos e cero máis aló dun determinado índice n0.

Dous espazos topolóxicos que son equivalentes homotópicos teñen grupos isomorfos de homoloxía e polo tanto a mesma característica de Euler.

Desta definición e a dualidade de Poincaré, séguese que a característica de Euler de calquera variedade pechada de dimensión impar é cero.

Se M e N son espazos topolóxicos, entón a característica de Euler do seu produto M × N é

.

Conxunto parcialmente ordenado[editar | editar a fonte]

O concepto de característica de Euler dun conxunto parcialmente ordenado finito limitado é outra xeneralización, importante en combinatoria. Un conxunto parcialmente ordenado é limitado se ten elementos mínimos e máximos, que podemos chamar 0 e 1. A característica de Euler dese conxunto é μ(0,1), onde μ é a función de Möbius na álxebra de incidencia do conxunto.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]