Grupo fundamental

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Mediante lazos con base nun punto fixo pódese explorar o espazo topolóxico ao que pertence. As clases de equivalencia destes lazos formarán o grupo fundamental.

En topoloxía, pódese asociar a cada punto p dun espazo topolóxico X un grupo que informa sobre a estrutura 1-dimensional da porción do espazo que rodea este punto. Os elementos deste grupo, chamado grupo fundamental de X relativo ao punto base p, son clases de equivalencia de lazos (curvas pechadas) con orixe no punto p.[1]

Existen xeneralizacións a dimensións superiores deste grupo, que reciben o nome de grupos de homotopía. O grupo fundamental recibe tamén o nome de primeiro grupo de homotopía. De aí a forma común de notalo sexa .

Definicións[editar | editar a fonte]

Lazo[editar | editar a fonte]

Sexa un espazo topolóxico, e un punto fixo de . Un lazo con base en é unha aplicación continua que verifica .

O produto de dous lazos e defínese como

Isto é, o lazo primeiro percorre o camiño de , pero a "dobre velocidade" e despois o de , tamén a dobre velocidade.

Clases de homotopía[editar | editar a fonte]

As clases de homotopía son as clases de equivalencia debidas á relación de ser homotópico. Dous lazos con base nun punto común p son homotópicos se existe unha aplicación continua tal que

.

Intuitivamente unha clase de homotopía representa un conxunto de curvas que son deformables entre si.

Grupo fundamental[editar | editar a fonte]

O produto de dúas clases de homotopía de lazos [f] e [g] defínese como [fg]. Pode demostrarse que este produto está ben definido ao ser independente da elección de representantes. Este produto permite obter unha estrutura de grupo: o elemento neutro será a clase [γ] do lazo trivial definido como γ(t) = p para todo t; o inverso da clase dun lazo [f] será a clase do mesmo lazo percorrido en sentido contrario (é dicir, f−1(t)=f(1-t))

O grupo fundamental dun espazo topolóxico , baseado en un punto , notado como , é o conxunto de clases de homotopía de curvas pechadas coa operación xustapor clases.

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • Se o espazo é arcoconexo, os diferentes grupos e para dous puntos son isomorfos. Sendo posible falar do grupo fundamental do espazo: . Este isomorfismo non é natural en xeral.
  • Unha aplicación continua entre dous espazos topolóxicos induce unha aplicación do conxunto de lazos de X sobre o de lazos de Y. Esta aplicación indúcese tamén sobre as clases respectivas e convértese nun homomorfismo entre os grupos fundamentais definido deste xeito: .
  • A asignación dada por que vai da categoría de espazos topolóxicos á categoría de grupos é un funtor. Este invariante pode ser calculado mediante a técnica de grafo de grupos coñecida como o teorema de Seifert-van Kampen. Con este resultado basta descompor o espazo en 2 espazos máis simples onde o grupo fundamental sexa coñecido.

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • En moitos espazos só existe unha clase de homotopía de lazos, e en consecuencia o grupo fundamental é trivial. Un espazo topolóxico con grupo fundamental trivial chámase simplemente conexo. ℝn, ou calquera subconxunto convexo de ℝn sono. A esfera de dimensión n con n maior ou igual que 2 tamén o é.
  • O espazo topolóxico máis simple non simplemente conexo é a circunferencia: o seu grupo fundamental é isomorfo ao grupo aditivo dos números enteiros ℤ. O número enteiro asociado a cada lazo de é o número de voltas que ese lazo dá ao redor dela.
  • Se X e Y son dous espazos topolóxicos arcoconexos, o grupo fundamental do produto X×Y é isomorfo ao produto dos grupos de ambos os espazos. Por exemplo, se para a circunferencia, . Para o toro, homeomorfo a un produto de circunferencias, .
  • O grupo fundamental non ten por que ser conmutativo. Por exemplo, o grupo fundamental do plano privado de dous puntos é isomorfo ao grupo libre con dous xeradores . Estes dous xeradores son as clases dos lazos que pasando por un punto p rodean cada un dos puntos eliminados. Nalgunhas clases particulares de espazos topolóxicos, por exemplo na dos grupos topolóxicos, o grupo fundamental si resulta ser sempre abeliano.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Munkres: "Topología"

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]