Conxunto pechado

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á busca

En topoloxía, un conxunto dise pechado nun espazo se o seu complementario for aberto.

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • Un conxunto X é pechado se e só se coincide co seu peche, ou sexa, se [1]
  • Un conxunto é pechado se e só se contén a súa fronteira.
  • A unión dun número finito de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
  • A intersección dun número calquera de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
  • Calquera conxunto é pechado en si mesmo.
  • X é un conxunto pechado se, e só se, o conxunto dos puntos de acumulación de X, denotado por , chamado derivado, estiver contido no propio conxunto X, ou sexa: (lese: o derivado está contido, é unha parte do conxunto X) [2].

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • Calquera intervalo pechado é un conxunto pechado en (coa topoloxía usual onde o conxunto dos intervalos abertos forman unha base de abertos para a topoloxía).
  • e son pechados en .
  • Na topoloxía inducida en pola inclusión en , o conxunto ]0,1], dos números reais maiores que cero e menores ou iguais a un, é pechado.
  • Na topoloxía discreta, todo subconxunto é pechado.
  • Se a topoloxía é Hausdorff, todo conxunto unitario (e, por indución, todo conxunto finito) é pechado.
  • O conxunto dos números reais é o complementario do conxunto aberto , e é o complementario do aberto . Entón, estes dous conxuntos son pechados e abertos ao mesmo tempo [3].
  • Existen conxuntos que non son pechados nin abertos, como o conxunto dos números racionais, o conxunto ou un intervalo do tipo [a,b) ou (a,b] [4].

Definicións alternativas[editar | editar a fonte]

Os axiomas dunha topoloxía poden ser igualmente formulados a través dunha colección de abertos (a definición usual) ou a través dunha colección de pechados. Neste segundo caso, os abertos son definidos como complementos de pechados.

Outra definición, mais didáctica, é definir un aberto como un conxunto no que todo punto é interior, un pechado cun conxunto que contén todos os seus puntos de acumulación, e demostrar o teorema que abertos e pechados son complementos.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 170. ISBN 9788524401183
  2. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 177. ISBN 9788524401183
  3. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 171. ISBN 9788524401183
  4. LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 172. ISBN 9788524401183

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]