Conxunto conexo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

Un conxunto conexo é un subconxunto dun espazo topolóxico é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é disconexo.

Formalmente, é un conxunto conexo se e só se: implica

Cómpre notar que se , entón terase que é conexo se e só se implica . Neste caso, chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

Exemplos[editar | editar a fonte]

O espazo A é conexo.
O espazo B non o é.

Conxuntos conexos[editar | editar a fonte]

  • As esferas son conexas.
  • Un punto é conexo.
  • Un nó é un conxunto conexo en
  • Un toro é un conxunto conexo en
  • En , un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta.
  • O complementario dun punto en é conexo.

Subconxunto conexo na recta[editar | editar a fonte]

Sexa provisto da topoloxía usual , ademais un intervalo de e subconxuntos abertos de tales que é parte da unión de e . Entón . Neste caso é un subconxunto conexo da recta real.

  • Un subconxunto da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto [1]

Conxuntos non conexos[editar | editar a fonte]

  • O complementario dun punto en
  • O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en
  • Un enlace de compoñentes (nós),

Propiedades dos conxuntos conexos[editar | editar a fonte]

Cúmprese que se é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: é un conxunto conexo se e só se para toda función continua se cumpre que é unha función constante, onde se dota a da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón tamén é conexo, onde é a topoloxía produto.

Por último, se non é conexo, é dicir, se existen abertos , disxuntos non baleiros tales que a súa unión é , é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos clopen. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, será conexo se e só se os únicos clopen son e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre clopen).

Conexidade por camiños[editar | editar a fonte]

Dise que un conxunto é conexo por camiños ou conexo por arcos se dados existe un camiño continuo tal que e .

Peite do topólogo

A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, , onde e . é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

Compoñentes conexas[editar | editar a fonte]

Dado un espazo topolóxico chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:

  1. é conexo.
  2. Calquera conxunto que contén propiamente non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de forman unha partición de . Se é conexo, tense que é a súa única compoñente conexa.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Mansfiel: Topology

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]