Arco (xeometría)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Arco.

Na xeometría, arco é calquera curva continua que une dous puntos.^[1] Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.

O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios.

Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva)

Métodos históricos

Antigüidade

No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.

As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.

Século XVII

Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.

Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.

A lonxitude dun arco de circunferencia de radio r e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θr. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.

Métodos modernos

Ao considerar unha función $f\left(x\right)$ e a súa respectiva derivada $f'\left(x\right)$ , que son continuas nun intervalo [a, b], a lonxitude do arco delimitado por a e b vén dada pola fórmula:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\,dx$

Se a función está definida parametricamente, onde $x=f\left(t\right)$ e $y=g\left(t\right)$ :

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[f'\left(t\right)\right]^{2}+\left[g'\left(t\right)\right]^{2}}}\,dt$

Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados $r=f(\theta )$ , a lonxitude dunha curva redúcese a:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left[{\frac {dr}{d\theta \ }}\right]^{2}}}\,d\theta \$

Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.

Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.

Lonxitude de arco

A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:

$L_{a}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\ dx$

Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo $\phi _{1}$ e $\phi _{2}$ vén dada por:

$L_{a}=\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\sqrt {\rho '(\phi )^{2}+\rho (\phi )^{2}}}\ d\phi$

Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que $\scriptstyle \rho (\phi )=R$ e $\scriptstyle \rho '(\phi )=0$ , a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como: