Lei de Biot–Savart

Ilustración da ecuación de Biot-Savart.

Electromagnetismo
Electricidade Magnetismo
Electrostática
Carga eléctrica Electricidade estática Campo eléctrico Condutor Illante Triboelectricidade Descarga electrostática Indución Lei de Coulomb Fuxo eléctrico Lei de Gauss Enerxía eléctrica Momento do dipolo eléctrico Polarización eléctrica
Magnetostática
Lei de Ampère Campo magnético Magnetización Fluxo magnético Lei de Biot–Savart Momento do dipolo magnético Lei de Gauss para o magnetismo
Electrodinámica
Forza de Lorentz Indución electromagnética Lei de Faraday Lei de Lenz Corrente de desprazamento Ecuacións de Maxwell Campo electromagnético Radiación electromagnética Tensor de Maxwell Vector de Poynting Potencial de Liénard–Wiechert Ecuacións de Jefimenko Corrente de Foucault
Circuíto eléctrico
Corrente eléctrica Potential eléctrico Voltaxe Resistencia Lei de Ohm Circuíto en serie Circuíto paralelo Corrente continua Corrente alterna Forza electromotriz Capacitancia Indutancia Impedancia
Formulación covariante
Tensor electromagnético Tensor de enerxía-impulso Cuadricorrente Cuadripotencial electromagnético
Científicos
Ampère Coulomb Faraday Gauss Heaviside Henry Hertz Lorentz Maxwell Tesla Volta Weber Ørsted

A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.

No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude $d\vec l$ do circuíto percorrido por unha corrente $I \,$ crea unha contribución elemental de campo magnético, $d\vec B$, no punto situado na posición que apunta o vector $\vec Ur$ a unha distancia $r$ respecto de $d\vec l$, que apunta en dirección á corrente I:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \hat{r}}{r^2}$

onde $\mu_0$ é a permeabilidade magnética do baleiro, e $\hat{r}$ é un vector unitario.

No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec J \times \vec R}{r^3} dv$

onde $\vec{J}$ é a densidade de corrente no elemento de volume $dv \,$ e $\vec{R}$ é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.

En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición a través da expresión

$\vec B = \int d\vec{B}$

Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.

A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática.

Lei de Biot-Savart xeneralizada

Nunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}$

onde:

$\ dV$ é o elemento diferencial de volume.

$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ é a constante magnética.

Diverxencia e rotacional de $\vec B$ a partir da lei de Biot e Savart

A diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.

Diverxencia

Aplicando o operador gradiente á expresión temos:

$\nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\cdot(\vec J \times \frac{\hat r}{r^2})dV'$

Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de $\vec J$ en todo o volume, o operador non afecta a $\vec J$. Aplicando a correspondente identidade vectorial:

$\nabla \cdot \vec B=-\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec J \cdot (\nabla \times (\nabla\cdot\frac{1}{r}))dV'$

Dado que:

$(\nabla \times (\nabla\cdot\frac{1}{r}))=0$

Temos:

$\nabla\cdot\vec B=0$

Rotacional

Aplicando o operador rotacional temos:

$\nabla \times \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\times(\vec J \times \frac{\hat r}{r^2})dV'$

Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a $\vec J$ xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que $\nabla\cdot\frac{\hat r}{r^2}=4\pi\cdot\delta (r)$

$\nabla \times \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec J \cdot(\nabla\cdot \frac{\hat r}{r^2})dV'=\mu_0\int_V \vec J\cdot\delta (r) \cdot dV'$

Realizando a integración obtemos finalmente:

$\nabla \times \vec B=\mu_0\cdot\vec J$

Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento.

Motivación histórica

Ilustración esquemática do experimento de Oersted.

Xa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.

O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.