Inverso multiplicativo

A función recíproca: y = 1/x. Para cada x agás 0, y representa a súa inversa multiplicativa. A gráfica forma unha hipérbola rectangular.

En matemáticas, un inverso multiplicativo ou recíproco para un número x, denotado como 1/x ou x⁻¹, é un número que cando se multiplica por x dá a identidade multiplicativa, 1. O inverso multiplicativo dunha fracción a/b é b/a. Por exemplo, o recíproco de 5 é un quinto (1/5 ou 0,2) e o recíproco de 0,25 é 1 dividido por 0,25 ou 4. A función recíproca, a función f(x) que asigna x a 1/x, é un dos exemplos máis sinxelos dunha función que é a súa propia inversa (unha involución).

Na frase inverso multiplicativo, o calificativo multiplicativo adoita omitirse e logo enténdese implicitamente (en contraste co inverso da suma). Os inversos multiplicativos pódense definir en moitos dominios matemáticos. Nestes casos pode ocorrer que ab ≠ ba; daquela "inverso" normalmente implica que un elemento é á vez un elemento inversa pola esquerda e pola dereita.

A notación f ⁻¹ ás veces tamén se usa para a función inversa da función f, que para a maioría das funcións non é igual á inversa multiplicativa. Por exemplo, o inverso multiplicativo 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ é a cosecante de x, e non o seno inverso de x indicado por sin⁻¹ x ou arcsin x.

Exemplos

Nos números reais, o cero non ten un recíproco (a división por cero non está definida) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1. A propiedade de que todo elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo forma parte da definición dun corpo. Por outra banda, ningún número enteiro diferente a 1 e −1 ten un recíproco nos enteiros (o resultado sería un número con decimais), polo que os enteiros non son un corpo.

En aritmética modular, tamén se define o inverso multiplicativo modular de a: é o número x tal que ax ≡ 1 (mod n). Este inverso multiplicativo existe se e só se a e n son coprimos. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . O algoritmo de Euclides estendido pódese utilizar para calculalo.

Unha matriz cadrada ten unha inversa se e só se o seu determinante ten unha inversa no anel de coeficientes.

As dúas nocións de función inversa coinciden ás veces, por exemplo para a función $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ onde $\ln$ é a rama principal do logaritmo complexo e $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$:

$((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x$ .

As funcións trigonométricas están relacionadas pola identidade recíproca: a cotanxente é o recíproco da tanxente; a secante é o recíproco do coseno; a cosecante é o recíproco do seno.

Un anel no que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo é un anel de división; do mesmo xeito, unha álxebra na que isto cúmprose é unha álxebra de división.

Números complexos

O recíproco de todo número complexo distinto de cero $z=a+bi$ é complexo. Pódese atopar multiplicando a parte superior e inferior de 1/z polo seu complexo conxugado ${\bar {z}}=a-bi$ e utilizando a propiedade que $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$, o valor absoluto de z cadrado, que é o número real a² + b² :

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$

En particular, se || z ||=1 , entón $1/z={\bar {z}}$ . En consecuencia, as unidades imaxinarias, ±i, teñen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo e son os únicos números complexos con esta propiedade. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos de i son −(i) = −i e 1/i = −i, respectivamente.

Para un número complexo en forma polar z = r(cos φ + i sin φ), o recíproco simplemente toma o valor recíproco da magnitude e negativo do ángulo:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).$

Intuición xeométrica para a integral de 1/x. As tres integrais de 1 a 2, de 2 a 4 e de 4 a 8 son todas iguais. Cada rexión é a rexión anterior reducida á metade verticalmente e duplicada horizontalmente. Ampliando isto, a integral de 1 a 2^k é k veces a integral de 1 a 2, do mesmo xeito que ln 2^k = k ln 2.

Cálculo

No cálculo real, a derivada de 1/x = x⁻¹ vén dada pola regra da potencia coa potencia −1:

${\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.$

A integral vén dada por: $$\int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,$$$$\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.$$ onde ln é o logaritmo natural. Para mostrar isto, teña en conta que ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$, así que se $x=e^{y}$ e $y=\ln x$, temos:$${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}$$

Algoritmos

O recíproco pódese calcular a man co uso da división longa.

Calcular o recíproco é importante en moitos algoritmos de división, xa que o cociente a/b pódese calcular primeiro calculando 1/b e despois multiplicándoo por a. Observando iso $f(x)={\dfrac {1}{x}}-b$, ten un cero en x = 1/ b, co método de Newton pódese atopar ese cero, comezando cunha suposición $x_{0}$ e iterando usando a regra:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).$

E repítese o bucle ata alcanzar a precisión desexada. Por exemplo, supoñamos que queremos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con 3 díxitos de precisión. Tomando x₀ = 0,1, prodúcese a seguinte secuencia:

x ₁ = 0,1 (2 − 17 × 0,1) = 0,03

x ₂ = 0,03 (2 − 17 × 0,03) = 0,0447

x ₃ = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

x ₄ = 0,0554 (2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

x ₅ = 0,0586 (2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Esta iteración tamén se pode xeneralizar a un tipo máis amplo de inversos; por exemplo a matriz inversa.

Recíprocos de números irracionais

Todo número real ou complexo excluíndo o cero ten un recíproco, e os recíprocos de certos números irracionais poden ter propiedades especiais importantes.

Os exemplos inclúen o recíproco de e (≈ 0,367879) e o recíproco da razón áurea (≈ 0,618034). O primeiro recíproco é especial porque ningún outro número positivo pode producir un número inferior cando se eleva a unha potencia de si mesmo; $f(1/e)$ é o mínimo global de $f(x)=x^{x}$. O segundo número é o único número positivo que é igual ao seu recíproco máis un: $\varphi =1/\varphi +1$. O seu inverso aditivo é o único número negativo que é igual ao seu recíproco menos un: $-\varphi =-1/\varphi -1$.

Para as raíces, cun método similar aos números complexos, podemos multiplicar e dividir polo propio número:

${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}.$ Isto leva a resultados curiosos como que o recíproco de ${\sqrt {2}}$ é a súa metade.

A función recíproca xoga un papel importante nas fraccións continuas, que teñen unha serie de propiedades notables relacionadas coa representación de números (tanto racionais como irracionais).

Máis observacións

Se a multiplicación é asociativa, un elemento x cunha inversa multiplicativa non pode ser un divisor de cero (x é un divisor de cero se para algún y diferente de cero, xy = 0). Para ver isto, abonda con multiplicar a ecuación xy = 0 pola inversa de x (pola esquerda), e logo simplificar usando a asociatividade. En ausencia de asociatividade, os sedenións proporcionan un contraexemplo (na álxebra abstracta, os sedenions forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula).

A viceversa non se verifica: un elemento que non é un divisor de cero non se garante que teña un inverso multiplicativo. Dentro de Z, todos os números enteiros agás −1, 0, 1 proporcionan exemplos; non son divisores de cero nin teñen inversos en Z . No entanto, se o anel ou a álxebra é finita, todos os elementos a que non son divisores de cero teñen un inverso (esquerda e dereita). Por exemplo, primeiro observe que o mapa f(x) = ax debe ser inxectivo: f(x) = f(y) implica x = y :

${\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}$

Elementos distintos mapean a elementos distintos, polo que a imaxe consta do mesmo número finito de elementos e o mapa é necesariamente sobrexectivo. En concreto, ƒ (é dicir, a multiplicación por a) debe mapear algún elemento x a 1, ax = 1, de xeito que x sexa inverso para a.

Véxase tamén

Bibliografía

• Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992

Outros artigos

• Aritmética modular.
• Matriz invertíbel.
• Anel (álxebra)