Extremos dunha función

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Extremos dunha función.

En matemáticas, os máximos e mínimos dunha función, coñecidos colectivamente como extremos dunha función, son os valores meirandes (máximos) ou máis pequenos (mínimos) que toma unha función nun punto situado xa sexa dentro dunha rexión en particular da curva (extremo local) ou no dominio da función na súa totalidade (extremo global ou absoluto).[1][2][3] De maneira máis xeral, os máximos e mínimos dun conxunto (como se define en teoría de conxuntos) son os elementos maior e menor no conxunto, cando existen. O localizar valores extremos é o obxectivo básico da optimización matemática.

Extremos relativos ou locais[editar | editar a fonte]

Sexa f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R} , sexa  x_0 \in A e sexa  P\,(x_0, f(x_0)) un punto pertencente á función.

Dise que  p é un máximo local de  f se existe unha veciñanza reducida de centro  x_0 , en símbolos  {E'(x_0)} , onde para todo elemento  x de  {E'(x_0)} se cumpre que  f(x) \le f(x_0) . Para que esta propiedade posúa sentido estrito debe cumprirse  f(x) < f(x_0) .

Analogamente, dise que o punto  p é un mínimo local de  f se existe unha veciñanza[4] reducida de centro  x_0 , en símbolos  {E'(x_0)} , onde para todo elemento  x de  {E'(x_0)} se cumpre que  f(x) \ge f(x_0) .

Extremos absolutos[editar | editar a fonte]

Sexa f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R} , sexa  x_0 \in A e sexa  P\,(x_0, f(x_0)) un punto pertencente á función.

Dise que P é un máximo absoluto de f se, para todo x distinto de x_0 pertencente ao subconxunto A, a súa imaxe é menor ou igual ca a de x_0. Isto é:

P\,(x_0, f(x_0)) máximo absoluto de f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x) .

Analogamente, P é un mínimo absoluto de f se, para todo x distinto de x_0 pertencente ao subconxunto A, a súa imaxe é maior ou igual ca a de x_0. Isto é:

P\,(x_0, f(x_0)) mínimo absoluto de f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x) .

Cálculo de extremos locais[editar | editar a fonte]

Dada unha función suficientemente derivábel f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R} , definida nun intervalo aberto de \mathbb {R}, o procedemento para achar os extremos desta función é moi sinxelo:

  1. Áchase a primeira derivada de  f \rightarrow f'\,(x)
  2. Áchase a segunda derivada de  f \rightarrow f''\,(x)
  3. Iguálase a primeira derivada a 0: f\,'(x) = 0
  4. Despéxase a variábel independente e obtéñense todos os valores posíbeis da mesma:  x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\} .
  5. Áchase a imaxe de cada x_i\, substituíndo a variábel independente na función.
  6. Agora, na segunda derivada, substitúese cada x_i\,:
    1. Se  f''\,(x_i) < 0 , tense un máximo no punto  M\, (x_i, f(x_i)).
    2. Se  f''\,(x_i) > 0 , tense un mínimo no punto  m\, (x_i, f(x_i)).
    3. Se  f''\,(x_i) = 0, debemos substituír x_i\, nas sucesivas derivadas até que sexa distinto de cero. Cando se ache a derivada para a que x_i\, non sexa nulo, hai que ver que derivada é:
      1. Se a derivada é par, trátase dun extremo local; un máximo se f^n\,(x_i) < 0 e un mínimo se f^n\,(x_i) > 0
      2. Se a derivada non é par, trátase dun punto de inflexión, pero non dun extremo.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Sexa f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x -30 \,. Achar os seus extremos locais e os seus puntos de inflexión.

Dada a función f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - 30 \,, tense que:

f'\,(x) = 3x^2 -24x + 45

f''\,(x) = 6x - 24

f'''\,(x) = 6

  • Extremos:

f'\,(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 0 \iff x \in \big\{3, 5\big\}

f''\,(3) = 6 \cdot 3 - 24 = -6 < 0 \Rightarrow existe un máximo en  M\,(3, f(3)) \rightarrow M\,(3, 24) .

f''(5) = 6 \cdot 5 - 24 = 6 > 0 \Rightarrow existe un mínimo en  m\,(5, f(5)) \rightarrow m\,(5, 20).

  • Puntos de inflexión:

f''(x) = 6x - 24 = 0 \iff x = 4.

f'''(4) = 6 \ne 0 \Rightarrow existe un punto de inflexión en  P\,(4, f(4)) \rightarrow P\,(4, 22) .

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Stewart, James (2008): Calculus: Early Transcendentals. Brooks/Cole. 6ª ed. ISBN 0-495-01166-5
  2. Larson, Ron & Edwards, Bruce H. (2009): Calculus. Brooks/Cole. 9ª ed. ISBN 0-547-16702-4
  3. Thomas, George B., Weir, Maurice D. & Joel (2010): Thomas' Calculus: Early Transcendentals. Addison-Wesley. 12ª ed. ISBN 0-321-58876-2
  4. Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela: Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.