Saltar ao contido

Inverso aditivo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, o inverso aditivo dun elemento x, denotado -x[1], é o elemento que cando se engade a x, dá a identidade aditiva, 0[2]. Nos casos máis coñecidos, este é o número 0, mais tamén pode referirse a un elemento cero máis xeneralizado.

En matemáticas elementais, o inverso aditivo é frecuentemente referido como o número oposto[3]. O concepto está moi relacionado coa resta[4] e é importante para resolver ecuacións alxébricas[5]. Non todos os conxuntos onde se define a suma teñen un inverso aditivo, como os números naturais[6].

Exemplos comúns

[editar | editar a fonte]

Cando se traballa con números enteiros, números racionais, números reais e números complexos, o inverso aditivo de calquera número pódese atopar multiplicándoo por −1. [5]

Estes números complexos, dous dos oito valores de , son mutuamente opostos
Casos sinxelos de inversos aditivos

Relación coa resta

[editar | editar a fonte]

O inverso aditivo está intimamente relacionado coa resta, que se pode ver como unha suma usando a inversa:

ab  =  a + (−b).

Pola contra, o inverso aditivo pode considerarse como unha resta de cero:

a = 0 − a.

Esta conexión levou a que o signo menos se utilizase tanto para magnitudes opostas como para resta xa no século XVII. Aínda que esta notación é estándar hoxe en día, naquel momento atopouse con oposición, xa que algúns matemáticos consideraron que podería ser pouco clara e levar a erros.[7]

Definición formal

[editar | editar a fonte]

Dada unha estrutura alxébrica definida baixo a suma cunha identidade aditiva , un elemento ten unha inversa aditiva se e só se , , e . [6]

Normalmente, a adición só se usa para referirse a unha operación conmutativa, mais non é necesariamente asociativa. Cando é asociativa, de modo que , os inversos pola esquerda e pola dereita, se os existen, coincidirán, e o inverso aditivo será único. En casos non asociativos, os inversos pola esquerda e pola dereita poden non coincidir, e nestes casos considérase que o inverso non existe.

A definición require pechamento, que o elemento aditivo estea en . É por iso que malia que a suma está definida sobre os números naturais, non é unha inversa aditiva para os seus membros. Os inversos asociados serían os números negativos, polo que os enteiros si teñen un inverso aditivo.

Outros exemplos

[editar | editar a fonte]
  • Nun espazo vectorial, o inverso aditivo v (moitas veces chamada vector oposto de v) ten a mesma magnitude que v e mais a dirección oposta.
  • En aritmética modular, o inverso aditivo modular de x é o número a tal que a + x ≡ 0 (mod n) e sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8, xa que 3 + 8 ≡ 0 (mod 11).
  • Nun anel booleano, que ten elementos a suma defínese a miúdo como a diferenza simétrica. Entón , , , e . A nosa identidade aditiva é 0, e ambos os elementos son o seu propio inverso aditivo pois e . [8]
  1. Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary abstract algebra (9th ed.). Boston, MA: Cengage Learning. p. 52. ISBN 978-1-305-65796-0. 
  2. Fraleigh, John B. (2014). A first course in abstract algebra (7th ed.). Harlow: Pearson. pp. 169–170. ISBN 978-1-292-02496-7. 
  3. Mazur, Izabela (March 26, 2021). "2.5 Properties of Real Numbers -- Introductory Algebra". Consultado o August 4, 2024. 
  4. Brown, Christopher. "SI242: divisibility". www.usna.edu. Consultado o 2024-08-04. 
  5. 5,0 5,1 "2.2.5: Properties of Equality with Decimals". K12 LibreTexts (en inglés). 2020-07-21. Consultado o 2024-08-04. 
  6. 6,0 6,1 Fraleigh, John B. (2014). A first course in abstract algebra (7th ed.). Harlow: Pearson. pp. 37–39. ISBN 978-1-292-02496-7. 
  7. Cajori, Florian (2011). A History of Mathematical Notations: two volume in one. New York: Cosimo Classics. pp. 246–247. ISBN 978-1-61640-571-7. 
  8. Martin, Urusula; Nipkow, Tobias (1989-03-01). "Boolean unification — The story so far". Journal of Symbolic Computation. Unification: Part 1 7 (3): 275–293. ISSN 0747-7171. doi:10.1016/S0747-7171(89)80013-6. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]