En matemáticas , as funcións trigonométricas inversas (tamén chamadas funcións arco [ 1] funcións inversas das funcións trigonométricas , baixo dominios debidamente restrinxidos. Concretamente, son as inversas das funcións seno , coseno , tanxente , cotanxente , secante e cosecante ,[ 2] enxeñaría , navegación , física e xeometría .
Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión. Existen varias notacións para as funcións trigonométricas inversas. A convención máis común é nomear as funcións trigonométricas inversas mediante un prefixo de arco (arc): arcsin(x ) , arccos(x ) , arctan(x ) , etc.[ 3]
Esta notación xorde das seguintes relacións xeométricas:
ao medir en radiáns, un ángulo de θ radiáns corresponderá a un arco cuxa lonxitude é rθ , onde r é o raio da circunferencia. Así, na función da circunferencia goniométrica , o coseno de x é tanto o arco como o ángulo, porque o arco dunha circunferencia de raio 1 é o mesmo que o ángulo. Ou, "o arco cuxo coseno é x " é o mesmo que "o ángulo cuxo coseno é x ", porque a lonxitude do arco da circunferencia en raios é a mesma que a medida do ángulo en radiáns.[ 4]
Nas linguaxes de programación de ordenadores, as funcións trigonométricas inversas denomínanse frecuentemente polas formas abreviadas
asin
,
acos
,
atan
{\displaystyle \operatorname {asin} ,\operatorname {acos} ,\operatorname {atan} }
[ 5]
As notacións
sin
−
1
(
x
)
,
cos
−
1
(
x
)
,
t
a
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle \sin ^{-1}(x),\cos ^{-1}(x),tan^{-1}(x)}
John Herschel en 1813, [ 6] [ 7] [ 3] multivalor de cada función trigonométrica:
tan
−
1
(
x
)
=
{
arctan
(
x
)
+
π
k
∣
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}.}
Isto pode parecer entrar en conflito loxicamente coa semántica común para expresións como sin2 (x ) ou sin2 x , que se refiren á potencia numérica e non á composición de funcións e, polo tanto, pode producir confusión entre a notación para o recíproco (inverso multiplicativo ) e a función inversa .
Polo tanto, desde 2009, o estándar ISO 80000-2 especificou unicamente o prefixo "arc" para as funcións inversas.
Os puntos etiquetados como 1 , Sec(θ ) , Csc(θ ) representan a lonxitude do segmento de liña desde a orixe ata ese punto. Sin(θ ) , Tan(θ ) e 1 son as alturas da liña que comeza no eixo x , mentres que Cos(θ ) , 1 e Cot(θ ) son lonxitudes ao longo do eixo x que comezan desde a orixe. Dado que ningunha das seis funcións trigonométricas é un a un , deben estar restrinxidas para ter funcións inversas. Polo tanto, o rango de resultados das funcións inversas son subconxuntos dos dominios das funcións orixinais.
Por exemplo, empregando función no sentido de funcións multivaloradas , do mesmo xeito que a función raíz cadrada
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
y
2
=
x
,
{\displaystyle y^{2}=x,}
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle y=\arcsin(x)}
sin
(
y
)
=
x
.
{\displaystyle \sin(y)=x.}
Para un número real dado
x
,
{\displaystyle x,}
−
1
≤
x
≤
1
,
{\displaystyle -1\leq x\leq 1,}
infinitos numerábeis moitos) números
y
{\displaystyle y}
sin
(
y
)
=
x
{\displaystyle \sin(y)=x}
sin
(
0
)
=
0
,
{\displaystyle \sin(0)=0,}
sin
(
π
)
=
0
,
{\displaystyle \sin(\pi )=0,}
sin
(
2
π
)
=
0
,
{\displaystyle \sin(2\pi )=0,}
rama principal . Con esta restrición, para cada
x
{\displaystyle x}
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
valor principal . Estas propiedades aplícanse a todas as funcións trigonométricas inversas.
As principais inversas están listadas na seguinte táboa.
Nome
Notación habitual
Definición
Dominio de x para un resultado real
Intervalo do valor principal habitual radiáns )
Intervalo do valor principal habitual graos )
arco seno
y = arcsin(x )x = sin (y )−1 ≤ x ≤ 1 −π / 2 y ≤ π / 2 −90° ≤ y ≤ 90°
arco coseno
y = arccos(x )x = cos (y )−1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
arco tanxente
y = arctan(x )x = tan (y )todos os números reais
−π / 2 y < π / 2 −90° < y < 90°
arco cotanxente
y = arccot(x )x = cot (y )todos os números reais
0 < y < π 0° < y < 180°
arco secante
y = arcsec(x )x = sec (y )|x 0 ≤ y < π / 2 ou π / 2 y ≤ π0° ≤ y < 90° ou 90° < y ≤ 180°
arco cosecante
y = arccsc(x )x = csc (y )|x −π / 2 y < 0 ou 0 < y ≤ π / 2 −90° ≤ y < 0 ou 0° < y ≤ 90°
Se se permite que x sexa un número complexo , entón o intervalo de y aplícase só á súa parte real.
Cada unha das funcións trigonométricas é periódica na parte real do seu argumento, percorrendo todos os seus valores dúas veces en cada intervalo de
2
π
{\displaystyle 2\pi }
O seno e a cosecante comezan o seu período en
2
π
k
−
π
2
{\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}
k
{\displaystyle k}
2
π
k
+
π
2
,
{\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}
2
π
k
+
π
2
{\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}
2
π
k
+
3
π
2
.
{\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}
O coseno e a secante comezan o seu período en
2
π
k
,
{\displaystyle 2\pi k,}
2
π
k
+
π
.
{\displaystyle 2\pi k+\pi .}
2
π
k
+
π
{\displaystyle 2\pi k+\pi }
2
π
k
+
2
π
.
{\displaystyle 2\pi k+2\pi .}
A tanxente comeza o seu período en
2
π
k
−
p
i
2
,
{\textstyle 2\pi k-{\frac {pi}{2}},}
2
π
k
+
p
i
2
,
{\textstyle 2\pi k+{\frac {pi}{2}},}
2
π
k
+
p
i
2
{\textstyle 2\pi k+{\frac {pi}{2}}}
2
π
k
+
3
π
2
.
{\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}
A cotanxente comeza o seu período en
2
π
k
,
{\displaystyle 2\pi k,}
2
π
k
+
π
,
{\displaystyle 2\pi k+\pi ,}
2
π
k
+
π
{\displaystyle 2\pi k+\pi }
2
π
k
+
2
π
.
{\displaystyle 2\pi k+2\pi .}
Esta periodicidade reflítese nos inversos en xeral, onde
k
{\displaystyle k}
A seguinte táboa mostra como se poden usar as funcións trigonométricas inversas para resolver igualdades que inclúen as seis funcións trigonométricas estándar.
Suponse que os valores dados
θ
,
{\displaystyle \theta ,}
r
,
{\displaystyle r,}
s
,
{\displaystyle s,}
x
,
{\displaystyle x,}
y
{\displaystyle y}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in Z}
números enteiros
k
{\displaystyle k}
O símbolo
,
⟺
,
{\displaystyle ,\iff ,}
igualdade lógica e indica que se o lado esquerdo é verdadeiro, entón tamén o é o lado dereito e, pola contra, se o lado dereito é verdadeiro, o lado esquerdo tamén o é.
Ecuación
se e só se Solución
sin
θ
=
y
{\displaystyle \sin \theta =y}
⟺
{\displaystyle \iff }
θ
=
{\displaystyle \theta =\,}
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{k}}
arcsin
(
y
)
{\displaystyle \arcsin(y)}
+
{\displaystyle +}
π
k
{\displaystyle \pi k}
for some
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
csc
θ
=
r
{\displaystyle \csc \theta =r}
⟺
{\displaystyle \iff }
θ
=
{\displaystyle \theta =\,}
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{k}}
arccsc
(
r
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(r)}
+
{\displaystyle +}
π
k
{\displaystyle \pi k}
for some
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
cos
θ
=
x
{\displaystyle \cos \theta =x}
⟺
{\displaystyle \iff }
θ
=
{\displaystyle \theta =\,}
±
{\displaystyle \pm \,}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
+
{\displaystyle +}
2
{\displaystyle 2}
π
k
{\displaystyle \pi k}
for some
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
sec
θ
=
r
{\displaystyle \sec \theta =r}
⟺
{\displaystyle \iff }
θ
=
{\displaystyle \theta =\,}
±
{\displaystyle \pm \,}
arcsec
(
r
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(r)}
+
{\displaystyle +}
2
{\displaystyle 2}
π
k
{\displaystyle \pi k}
for some
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
tan
θ
=
s
{\displaystyle \tan \theta =s}
⟺
{\displaystyle \iff }
θ
=
{\displaystyle \theta =\,}
arctan
(
s
)
{\displaystyle \arctan(s)}
+
{\displaystyle +}
π
k
{\displaystyle \pi k}
for some
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
cot
θ
=
r
{\displaystyle \cot \theta =r}
⟺
{\displaystyle \iff }
θ
=
{\displaystyle \theta =\,}
arccot
(
r
)
{\displaystyle \operatorname {arccot}(r)}
+
{\displaystyle +}
π
k
{\displaystyle \pi k}
for some
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
cos
θ
=
−
1
{\displaystyle \cos \theta =-1}
θ
=
π
+
2
π
k
=
−
π
+
2
π
(
1
+
k
)
{\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}
k
∈
Z
.
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}
sin
θ
=
±
1
{\displaystyle \sin \theta =\pm 1}
=
−
π
2
+
π
(
k
+
1
)
=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)
k
∈
Z
,
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}
k
{\displaystyle k}
sin
θ
=
1
{\displaystyle \sin \theta =1}
sin
θ
=
−
1.
{\displaystyle \sin \theta =-1.}
sec
θ
=
−
1
{\displaystyle \sec \theta =-1}
csc
θ
=
±
1
{\displaystyle \csc \theta =\pm 1}
cos
θ
=
−
1
{\displaystyle \cos \theta =-1}
sin
θ
=
±
1
,
{\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}
En todas as ecuacións anteriores agás as que se acaban de resolver (é dicir, agás
sin
{\displaystyle \sin }
csc
θ
=
±
1
{\displaystyle \csc \theta =\pm 1}
cos
{\displaystyle \cos }
sec
θ
=
−
1
{\displaystyle \sec \theta =-1}
k
{\displaystyle k}
θ
{\displaystyle \theta }
r
,
s
,
x
,
{\displaystyle r,s,x,}
y
{\displaystyle y}
As ecuacións anteriores pódense transformar usando as identidades de reflexión e desprazamento:[ 8]
Transforming equations by shifts and reflections
Argument:
_
=
{\displaystyle {\underline {\;~~~~~~\;}}=}
−
θ
{\displaystyle -\theta }
π
2
±
θ
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\pm \theta }
π
±
θ
{\displaystyle \pi \pm \theta }
3
π
2
±
θ
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\pm \theta }
2
k
π
±
θ
,
{\displaystyle 2k\pi \pm \theta ,}
(
k
∈
Z
)
{\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}
sin
_
=
{\displaystyle \sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}
−
sin
θ
{\displaystyle -\sin \theta }
−
cos
θ
{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }
∓
sin
θ
{\displaystyle \mp \sin \theta }
−
cos
θ
{\displaystyle -\cos \theta }
±
sin
θ
{\displaystyle \pm \sin \theta }
csc
_
=
{\displaystyle \csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}
−
csc
θ
{\displaystyle -\csc \theta }
−
sec
θ
{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }
∓
csc
θ
{\displaystyle \mp \csc \theta }
−
sec
θ
{\displaystyle -\sec \theta }
±
csc
θ
{\displaystyle \pm \csc \theta }
cos
_
=
{\displaystyle \cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}
−
cos
θ
{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }
∓
sin
θ
{\displaystyle \mp \sin \theta }
−
cos
θ
{\displaystyle -\cos \theta }
±
sin
θ
{\displaystyle \pm \sin \theta }
−
cos
θ
{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }
sec
_
=
{\displaystyle \sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}
−
sec
θ
{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }
∓
csc
θ
{\displaystyle \mp \csc \theta }
−
sec
θ
{\displaystyle -\sec \theta }
±
csc
θ
{\displaystyle \pm \csc \theta }
−
sec
θ
{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }
tan
_
=
{\displaystyle \tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}
−
tan
θ
{\displaystyle -\tan \theta }
∓
cot
θ
{\displaystyle \mp \cot \theta }
±
tan
θ
{\displaystyle \pm \tan \theta }
∓
cot
θ
{\displaystyle \mp \cot \theta }
±
tan
θ
{\displaystyle \pm \tan \theta }
cot
_
=
{\displaystyle \cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}
−
cot
θ
{\displaystyle -\cot \theta }
∓
tan
θ
{\displaystyle \mp \tan \theta }
±
cot
θ
{\displaystyle \pm \cot \theta }
∓
tan
θ
{\displaystyle \mp \tan \theta }
±
cot
θ
{\displaystyle \pm \cot \theta }
Estas fórmulas implican, en particular, que se cumpre o seguinte:
sin
θ
=
−
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
(
π
+
θ
)
=
−
sin
(
π
−
θ
)
=
−
cos
(
π
2
+
θ
)
=
−
cos
(
π
2
−
θ
)
=
−
cos
(
−
π
2
−
θ
)
=
−
cos
(
−
π
2
+
θ
)
=
−
cos
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
cos
(
−
3
π
2
+
θ
)
cos
θ
=
−
cos
(
−
θ
)
=
−
cos
(
π
+
θ
)
=
−
cos
(
π
−
θ
)
=
−
sin
(
π
2
+
θ
)
=
−
sin
(
π
2
−
θ
)
=
−
sin
(
−
π
2
−
θ
)
=
−
sin
(
−
π
2
+
θ
)
=
−
sin
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
sin
(
−
3
π
2
+
θ
)
tan
θ
=
−
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
(
π
+
θ
)
=
−
tan
(
π
−
θ
)
=
−
cot
(
π
2
+
θ
)
=
−
cot
(
π
2
−
θ
)
=
−
cot
(
−
π
2
−
θ
)
=
−
cot
(
−
π
2
+
θ
)
=
−
cot
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
cot
(
−
3
π
2
+
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}
onde trocando
sin
↔
csc
,
{\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}
cos
↔
sec
,
{\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}
tan
↔
cot
{\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }
csc
,
sec
,
cot
,
{\displaystyle \csc ,\sec ,\cot ,}
Así, por exemplo, usando a igualdade
sin
(
π
2
−
θ
)
=
cos
θ
,
{\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}
cos
θ
=
x
{\displaystyle \cos \theta =x}
sin
(
π
2
−
θ
)
=
x
,
{\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}
;
sin
φ
=
x
;
{\displaystyle ;\sin \varphi =x;}
φ
:=
π
2
−
θ
{\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }
φ
=
(
−
1
)
k
arcsin
(
x
)
+
π
k
;
para algún
k
∈
Z
,
{\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k;{\text{ para algún }}k\in Z,}
π
2
−
θ
=
(
−
1
)
k
arcsin
(
x
)
+
π
k
para algún
k
∈
Z
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ para algún }}k\in Z}
onde úsase o feito de que
(
−
1
)
k
=
(
−
1
)
−
k
{\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}
h
:=
−
k
{\displaystyle h:=-k}
;
cos
θ
=
x
;
{\displaystyle ;\cos \theta =x;}
θ
=
(
−
1
)
h
+
1
arcsin
(
x
)
+
π
h
+
π
2
para algún
h
∈
Z
.
{\displaystyle \theta =(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ para algún }}h\in Z.}
A substitución
arcsin
x
=
π
2
−
arccos
x
;
{\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x;}
arccos
x
;
{\displaystyle \arccos x;}
arcsin
x
.
{\displaystyle \arcsin x.}
[ editar | editar a fonte ] As funcións trigonométricas das funcións trigonométricas inversas están tabuladas a continuación. Unha forma rápida de derivalas é considerando a xeometría dun triángulo rectángulo, cun lado de lonxitude 1 e outro lado de lonxitude
x
{\displaystyle x}
Teorema de Pitágoras e as definicións das razóns trigonométricas.
Paga a pena notar que para arco secante e arco cosecante, o diagrama asume que
x
{\displaystyle x}
valor absoluto e a operación signo (sgn).
θ
{\displaystyle \theta }
sin
(
θ
)
{\displaystyle \sin(\theta )}
cos
(
θ
)
{\displaystyle \cos(\theta )}
tan
(
θ
)
{\displaystyle \tan(\theta )}
Diagrama
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
sin
(
arcsin
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}
cos
(
arcsin
(
x
)
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}
tan
(
arcsin
(
x
)
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
sin
(
arccos
(
x
)
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}
cos
(
arccos
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}
tan
(
arccos
(
x
)
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
sin
(
arctan
(
x
)
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arctan
(
x
)
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arctan
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}
sin
(
arccot
(
x
)
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
(
arccot
(
x
)
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arccot
(
x
)
)
=
1
x
{\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}
sin
(
arcsec
(
x
)
)
=
x
2
−
1
|
x
|
{\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}
cos
(
arcsec
(
x
)
)
=
1
x
{\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}
tan
(
arcsec
(
x
)
)
=
sgn
(
x
)
x
2
−
1
{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}}
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}
sin
(
arccsc
(
x
)
)
=
1
x
{\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}
cos
(
arccsc
(
x
)
)
=
x
2
−
1
|
x
|
{\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}
tan
(
arccsc
(
x
)
)
=
sgn
(
x
)
x
2
−
1
{\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
Os valores principais habituais das funcións arcsin(x ) (vermello) e arccos(x ) (azul) representados no plano cartesiano. Os valores principais habituais das funcións arctan(x ) e arccot(x ) representadas gráficamente no plano cartesiano. Valores principais das funcións arcsec(x ) e arccsc(x ) representadas gráficamente no plano cartesiano. Ángulos complementarios:
arccos
(
x
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
arccot
(
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
arccsc
(
x
)
=
π
2
−
arcsec
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}
Argumentos negativos:
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
(
x
)
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
(
x
)
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
(
x
)
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
(
x
)
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}
Argumentos recíprocos:
arcsin
(
1
x
)
=
arccsc
(
x
)
arccsc
(
1
x
)
=
arcsin
(
x
)
arccos
(
1
x
)
=
arcsec
(
x
)
arcsec
(
1
x
)
=
arccos
(
x
)
arctan
(
1
x
)
=
arccot
(
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
,
se
x
>
0
arctan
(
1
x
)
=
arccot
(
x
)
−
π
=
−
π
2
−
arctan
(
x
)
,
se
x
<
0
arccot
(
1
x
)
=
arctan
(
x
)
=
π
2
−
arccot
(
x
)
,
se
x
>
0
arccot
(
1
x
)
=
arctan
(
x
)
+
π
=
3
π
2
−
arccot
(
x
)
,
se
x
<
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ se }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ se }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ se }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ se }}x<0\end{aligned}}}
As identidades anteriores pódense usar polo feito de
sin
{\displaystyle \sin }
csc
{\displaystyle \csc }
recíprocas (é dicir,
csc
=
1
s
i
n
{\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{sin}}}
cos
{\displaystyle \cos }
sec
,
{\displaystyle \sec ,}
tan
{\displaystyle \tan }
cot
{\displaystyle \cot }
Identidades útiles se só se ten un fragmento dunha táboa seno:
arcsin
(
x
)
=
1
2
arccos
(
1
−
2
x
2
)
,
if
0
≤
x
≤
1
arcsin
(
x
)
=
arctan
(
x
1
−
x
2
)
arccos
(
x
)
=
1
2
arccos
(
2
x
2
−
1
)
,
if
0
≤
x
≤
1
arccos
(
x
)
=
arctan
(
1
−
x
2
x
)
arccos
(
x
)
=
arcsin
(
1
−
x
2
)
,
se
0
≤
x
≤
1
, do que obtemos
arccos
(
1
−
x
2
1
+
x
2
)
=
arcsin
(
2
x
1
+
x
2
)
,
se
0
≤
x
≤
1
arcsin
(
1
−
x
2
)
=
π
2
−
sgn
(
x
)
arcsin
(
x
)
arctan
(
x
)
=
arcsin
(
x
1
+
x
2
)
arccot
(
x
)
=
arccos
(
x
1
+
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ se }}0\leq x\leq 1{\text{ , do que obtemos}}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ se }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}
Sempre que aquí se usa a raíz cadrada dun número complexo, escollemos a raíz coa parte real positiva (ou a parte imaxinaria positiva se o cadrado fose real negativo).
Unha forma útil que se desprende directamente da táboa anterior é
arctan
(
x
)
=
arccos
(
1
1
+
x
2
)
,
if
x
≥
0
{\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}
Obtense ao recoñecer que
cos
(
arctan
(
x
)
)
=
1
1
+
x
2
=
cos
(
arccos
(
1
1
+
x
2
)
)
{\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}
fórmula do ángulo metade ,
tan
(
θ
2
)
=
sin
(
θ
)
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}
arcsin
(
x
)
=
2
arctan
(
x
1
+
1
−
x
2
)
arccos
(
x
)
=
2
arctan
(
1
−
x
2
1
+
x
)
,
if
−
1
<
x
≤
1
arctan
(
x
)
=
2
arctan
(
x
1
+
1
+
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}
arctan
(
u
)
±
arctan
(
v
)
=
arctan
(
u
±
v
1
∓
u
v
)
(
mod
π
)
,
u
v
≠
1
.
{\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}
Isto derívase da fórmula da suma de ángulos da tanxente
tan
(
α
±
β
)
=
tan
(
α
)
±
tan
(
β
)
1
∓
tan
(
α
)
tan
(
β
)
,
{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}
sendo
α
=
arctan
(
u
)
,
β
=
arctan
(
v
)
.
{\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}
As derivadas para valores complexos de z son as seguintes:
d
d
z
arcsin
(
z
)
=
1
1
−
z
2
;
z
≠
−
1
,
+
1
d
d
z
arccos
(
z
)
=
−
1
1
−
z
2
;
z
≠
−
1
,
+
1
d
d
z
arctan
(
z
)
=
1
1
+
z
2
;
z
≠
−
i
,
+
i
d
d
z
arccot
(
z
)
=
−
1
1
+
z
2
;
z
≠
−
i
,
+
i
d
d
z
arcsec
(
z
)
=
1
z
2
1
−
1
z
2
;
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
d
d
z
arccsc
(
z
)
=
−
1
z
2
1
−
1
z
2
;
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}
Só para valores reais de x :
d
d
x
arcsec
(
x
)
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
(
x
)
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}
Só para valores reais de x :
Estas fórmulas pódense obter en función das derivadas das funcións trigonométricas. Por exemplo, se
x
=
sin
θ
{\displaystyle x=\sin \theta }
d
x
/
d
θ
=
cos
θ
=
1
−
x
2
,
{\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}
d
d
x
arcsin
(
x
)
=
d
θ
d
x
=
1
d
x
/
d
θ
=
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Integrando a derivada e fixando o valor nun punto dáse unha expresión para a función trigonométrica inversa como unha integral definida:
arcsin
(
x
)
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arccos
(
x
)
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arctan
(
x
)
=
∫
0
x
1
z
2
+
1
d
z
,
arccot
(
x
)
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
arcsec
(
x
)
=
∫
1
x
1
z
z
2
−
1
d
z
=
π
+
∫
−
x
−
1
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arccsc
(
x
)
=
∫
x
∞
1
z
z
2
−
1
d
z
=
∫
−
∞
−
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}
Cando x é igual a 1, as integrais con dominios non limitados son integrais impropias , mais aínda así están ben definidas.
Similar ás funcións seno e coseno, as funcións trigonométricas inversas tamén se poden calcular usando series de potencias , como se indica a continuación.
Para o arcoseno, a serie pódese obter expandindo a súa derivada,
1
1
−
z
2
{\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}
serie binomial , e integrando termo por termo (usando a definición integral como se indica arriba). A serie para arcotanxente pódese obter de xeito similar expandindo a súa derivada
1
1
+
z
2
{\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}
serie xeométrica , e aplicando a definición integral anterior (ver series de Leibniz ).
arcsin
(
z
)
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
z
2
n
+
1
2
n
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
(
2
n
n
!
)
2
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arctan
(
z
)
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}
As series para as outras funcións trigonométricas inversas pódense dar en función destas segundo as relacións indicadas anteriormente. Por exemplo,
arccos
(
x
)
=
π
/
2
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}
arccsc
(
x
)
=
arcsin
(
1
/
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}
Erro na cita: Falta a etiqueta </ref> para a etiqueta <ref> correspondente
(O termo da suma para n = 0 é o produto vacío , polo que é 1).
Alternativamente, isto pódese expresar como
arctan
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
(
1
+
z
2
)
n
+
1
.
{\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}
Outra serie para a función arcotanxente vén dada por
arctan
(
z
)
=
i
∑
n
=
1
∞
1
2
n
−
1
(
1
(
1
+
2
i
/
z
)
2
n
−
1
−
1
(
1
−
2
i
/
z
)
2
n
−
1
)
,
{\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}
onde
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
unidade imaxinaria .[ 9]
Dúas alternativas á serie de potencias para arcotanxente son estas fraccións continuas xeneralizadas :
arctan
(
z
)
=
z
1
+
(
1
z
)
2
3
−
1
z
2
+
(
3
z
)
2
5
−
3
z
2
+
(
5
z
)
2
7
−
5
z
2
+
(
7
z
)
2
9
−
7
z
2
+
⋱
=
z
1
+
(
1
z
)
2
3
+
(
2
z
)
2
5
+
(
3
z
)
2
7
+
(
4
z
)
2
9
+
⋱
{\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
A segunda delas é válida no corte do plano complexo. Hai dous cortes, de −i ata o punto do infinito, baixando polo eixo imaxinario, e desde i ata o punto do infinito, subindo no mesmo eixo. Funciona mellor para números reais que van de −1 a 1. Os denominadores parciais son os números naturais impares e os numeradores parciais (despois do primeiro) son só (nz )2 , e cada cadrado perfecto aparece unha vez.
A primeira foi desenvolvida por Leonhard Euler ; a segunda por Carl Friedrich Gauss utilizando a serie hiperxeométrica de Gauss .
Para valores reais e complexos de z :
∫
arcsin
(
z
)
d
z
=
z
arcsin
(
z
)
+
1
−
z
2
+
C
∫
arccos
(
z
)
d
z
=
z
arccos
(
z
)
−
1
−
z
2
+
C
∫
arctan
(
z
)
d
z
=
z
arctan
(
z
)
−
1
2
ln
(
1
+
z
2
)
+
C
∫
arccot
(
z
)
d
z
=
z
arccot
(
z
)
+
1
2
ln
(
1
+
z
2
)
+
C
∫
arcsec
(
z
)
d
z
=
z
arcsec
(
z
)
−
ln
[
z
(
1
+
z
2
−
1
z
2
)
]
+
C
∫
arccsc
(
z
)
d
z
=
z
arccsc
(
z
)
+
ln
[
z
(
1
+
z
2
−
1
z
2
)
]
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}
Para x real ≥ 1:
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
Para todos os x reais non comprendidos entre -1 e 1:
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
−
sgn
(
x
)
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
sgn
(
x
)
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}
O valor absoluto é necesario para compensar os valores tanto negativos como positivos das funcións arcosecante e arcocosecante. A función signo tamén é necesaria debido aos valores absolutos nas derivadas das dúas funcións, que crean dúas solucións diferentes para valores positivos e negativos de x.
Estas poden simplificarse aínda máis usando as definicións logarítmicas das funcións hiperbólicas inversas :
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
−
arcosh
(
|
x
|
)
+
C
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
arcosh
(
|
x
|
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}
O valor absoluto no argumento da función arcosh crea unha metade negativa da súa gráfica, facéndoa idéntica á función logarítmica con signo mostrada anteriormente.
Todas estas antiderivadas pódense derivar usando integración por partes e as formas derivadas simples mostradas arriba.
Usando
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}
integración por partes ), facemos
u
=
arcsin
(
x
)
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}
Daquela
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
(
x
)
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
,
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}
que pola simple substitución
w
=
1
−
x
2
,
d
w
=
−
2
x
d
x
{\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
(
x
)
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
A Superficie de riemann para o argumento da relación tan z = x . A folla laranxa do medio é a folla principal que representa arctan x . A folla azul de arriba e a folla verde de abaixo están desprazadas por 2π e −2π respectivamente. Dado que as funcións trigonométricas inversas son funcións analíticas , pódense estender desde a recta real ata o plano complexo. Isto resulta en funcións con varias follas e puntos de ramificación . Unha forma posíbel de definir a extensión é:
arctan
(
z
)
=
∫
0
z
d
x
1
+
x
2
z
≠
−
i
,
+
i
{\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}
onde a parte do eixo imaxinario que non se atopa estritamente entre os puntos de ramificación (−i e +i) é o corte de rama entre a folla principal e outras follas.
O camiño da integral non debe cruzar un corte de rama. Para un z que non está nun corte de rama, un camiño en liña recta de 0 a z é ese camiño. Para un z que esta nun corte de rama, o camiño debe achegarse desde Re[x] > 0 para o corte da rama superior e desde Re[x] < 0 para o corte da rama inferior.
A función arcoseno pódese definir como:
arcsin
(
z
)
=
arctan
(
z
1
−
z
2
)
z
≠
−
1
,
+
1
{\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}
onde (a función de raíz cadrada ten o seu corte ao longo do eixo real negativo e) a parte do eixo real que non se atopa estritamente entre −1 e +1 é a rama de corte entre a folla principal de
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
arccos
(
z
)
=
p
i
2
−
arcsin
(
z
)
z
≠
−
1
,
+
1
{\displaystyle \arccos(z)={\frac {pi}{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}
que ten o mesmo corte que
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
arccot
(
z
)
=
π
2
−
arctan
(
z
)
z
≠
−
i
,
i
{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}
que ten o mesmo corte que
arctan
{\displaystyle \arctan }
arcsec
(
z
)
=
arccos
(
1
z
)
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}
onde a parte do eixo real entre −1 e +1 inclusive é o corte entre a folla principal de
arcsec
{\displaystyle \operatorname {arcsec} }
arccsc
(
z
)
=
arcsin
(
1
z
)
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}
que ten o mesmo corte que
arcsec
{\displaystyle \operatorname {arcsec} }
Estas funcións tamén se poden expresar usando o logaritmo complexo . Isto estende o seu dominios ata o plano complexo dun xeito natural. As seguintes identidades para os valores principais das funcións cúmprense en todas as partes que se definen, mesmo nos seus cortes de rama.
arcsin
(
z
)
=
−
i
ln
(
1
−
z
2
+
i
z
)
=
i
ln
(
1
−
z
2
−
i
z
)
=
arccsc
(
1
z
)
arccos
(
z
)
=
−
i
ln
(
i
1
−
z
2
+
z
)
=
π
2
−
arcsin
(
z
)
=
arcsec
(
1
z
)
arctan
(
z
)
=
−
i
2
ln
(
i
−
z
i
+
z
)
=
−
i
2
ln
(
1
+
i
z
1
−
i
z
)
=
arccot
(
1
z
)
arccot
(
z
)
=
−
i
2
ln
(
z
+
i
z
−
i
)
=
−
i
2
ln
(
i
z
−
1
i
z
+
1
)
=
arctan
(
1
z
)
arcsec
(
z
)
=
−
i
ln
(
i
1
−
1
z
2
+
1
z
)
=
π
2
−
arccsc
(
z
)
=
arccos
(
1
z
)
arccsc
(
z
)
=
−
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
=
i
ln
(
1
−
1
z
2
−
i
z
)
=
arcsin
(
1
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}
Dado que todas as funcións trigonométricas inversas producen un ángulo dun triángulo rectángulo, pódense xeneralizar usando a fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo no plano complexo. Alxebricamente, isto dános:
c
e
i
θ
=
c
cos
(
θ
)
+
i
c
sin
(
θ
)
{\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}
ou
c
e
i
θ
=
a
+
i
b
{\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}
onde
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
θ
{\displaystyle \theta }
e
ln
(
c
)
+
i
θ
=
a
+
i
b
ln
c
+
i
θ
=
ln
(
a
+
i
b
)
θ
=
Im
(
ln
(
a
+
i
b
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}
ou
θ
=
−
i
ln
(
a
+
i
b
c
)
{\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}
sin
(
ϕ
)
=
z
ϕ
=
arcsin
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}
Usando a definición exponencial de seno e sendo
ξ
=
e
i
ϕ
,
{\displaystyle \xi =e^{i\phi },}
z
=
e
i
ϕ
−
e
−
i
ϕ
2
i
2
i
z
=
ξ
−
1
ξ
0
=
ξ
2
−
2
i
z
ξ
−
1
ξ
=
i
z
±
1
−
z
2
ϕ
=
−
i
ln
(
i
z
±
1
−
z
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}
(escóllese a rama positiva)
ϕ
=
arcsin
(
z
)
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
{\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
Gráficos de roda de cores de funcións trigonométricas inversas no plano complexo
a
r
c
s
i
n
(
z
)
{\displaystyle arcsin(z)}
a
r
c
c
o
s
(
z
)
{\displaystyle arccos(z)}
a
r
c
t
a
n
(
z
)
{\displaystyle arctan(z)}
a
r
c
c
s
c
(
z
)
{\displaystyle arccsc(z)}
a
r
c
s
e
c
(
z
)
{\displaystyle arcsec(z)}
a
r
c
c
o
t
(
z
)
{\displaystyle arccot(z)}
A triángulo rectángulo con lados relativos a un ángulo no punto
A
{\displaystyle A}
As funcións trigonométricas inversas son útiles cando se intenta determinar os dous ángulos restantes dun triángulo rectángulo cando se coñecen as lonxitudes dos lados do triángulo. Lembrando as definicións de triángulo rectángulo de seno e coseno, despréndese que
θ
=
arcsin
(
oposto
hipotenusa
)
=
arccos
(
contiguo
hipotenusa
)
.
{\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}}\right).}
Moitas veces, a hipotenusa é descoñecida e habería que calculala antes de usar o arcoseno ou arcocoseno usando o teorema de Pitágoras :
a
2
+
b
2
=
h
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}
h
{\displaystyle h}
θ
=
arctan
(
oposto
contiguo
)
{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{oposto}}{\text{contiguo}}}\right)}
Por exemplo, supoña que un tellado baixa 8 metros mentres avanza 20 metros. O tellado forma un ángulo θ coa horizontal, onde θ pódese calcular do seguinte xeito:
θ
=
arctan
(
oposto
contiguo
)
=
arctan
(
baixa
avanza
)
=
arctan
(
8
20
)
≈
21.8
∘
.
{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{oposto}}{\text{contiguo}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{baixa}}{\text{avanza}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}
En moitas aplicacións a solución
y
{\displaystyle y}
x
=
t
a
n
(
y
)
{\displaystyle x=tan(y)}
−
∞
<
η
<
∞
{\displaystyle -\infty <\eta <\infty }
y
=
arctan
η
(
x
)
:=
arctan
(
x
)
+
π
rni
(
η
−
arctan
(
x
)
π
)
.
{\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}
A función
rni
{\displaystyle \operatorname {rni} }
↑ Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media . ISBN 978-155608010-4 . Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner. "Cyclometric or Inverse Trigonometric Functions". Handbook of Mathematics (6th ed.). Berlin: Springer. doi :10.1007/978-3-663-46221-8 (inactivo 1 November 2024). ↑ Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions" . mathworld.wolfram.com . Consultado o 2020-08-29 . ↑ 3,0 3,1 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (January 1909). "Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions" . Escrito en Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry . Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. p. 15. Consultado o 2017-08-12 . ↑ Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin, eds. (1912). "Inverse trigonometric functions". The Americana: a universal reference library 21 . ↑ Cook, John D. (2021-02-11). "Trig functions across programming languages" . johndcook.com (blog). Consultado o 2021-03-10 . ↑ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics The Macmillan Company . p. 272 . ↑ Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem" . Philosophical Transactions (Royal Society, London) 103 (1): 8. doi :10.1098/rstl.1813.0005 . ↑ Abramowitz & Stegun 1972 , p. 73, 4.3.44↑ S. M. Abrarov and B. M. Quine (2018). A formula for pi involving nested radicals . The Ramanujan Journal 46 . pp. 657–665. arXiv :1610.07713 . doi :10.1007/s11139-018-9996-8 .
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316baee0254e64a99779ac4721054f23295aeec6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec43798232f580abb074cf15f3d77692edd36af0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ se }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ se }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ se }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ se }}x<0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d0722c78275e8867004f92b0a5e0e1ccc023cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd6a9370a877ca5e198e28b7582bd06b377bdc3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f778db7f760db059cf12f13ee5c2bf239fbb2f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e2dde92bb82231c4326e45ce8b50e7298688bb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b511be341b52fcd0c0660f3a4b1e5a164bfcb1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed03e8cf773fa44cc78823d65f7d82f41276fb96)
