Matriz cadrada

En matemáticas, unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz n-por-n a unha matriz cadrada de orde $n$ . Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se $R$ é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e $\mathbf {v}$ é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto $R\mathbf {v}$ produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se $\mathbf {v}$ é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ , onde $R^{\mathsf {T}}$ é a transposta de $R$ .

Diagonal principal[editar | editar a fonte]

As entradas $a_{ii}$ ( $i = 1, ..., n$ ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos $a 11 = 9$ , $a 22 = 11$ , $a 33 = 4$ , $a 44 = 10$ .

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase antidiagonal ou contradiagonal.

Tipos especiais[editar | editar a fonte]

Matriz diagonal, triangular e identidade[editar | editar a fonte]

Nome	Exemplo con n = 3
Matriz diagonal	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz triangular inferior	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz triangular superior	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz identidade	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

O termo matriz identidade refírese á propiedade da multiplicación matricial que

I_{m}A=AI_{n}=A

para calquera matriz

A

de dimensións

m\times n

.

Matriz invertible e a súa inversa[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada $A$ chámase invertible ou non singular se^[1].^[2] existe unha matriz $B$ tal que

AB=BA=I_{n}

Se

B

existe, é única e chámase matriz inversa de

A

, denotado

A^{-1}

.

Matriz simétrica ou antisimétrica[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada $A$ que é igual á súa transposición, é dicir, $A^{\mathsf {T}}=A$ , é unha matriz simétrica. Se en cambio $A^{\mathsf {T}}=-A$ , entón $A$ chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa $A$ , moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada $A^{*}$ , definido como a transposición do conxugado complexo de $A$ . Unha matriz cadrada complexa $A$ que satisfai $A^{*}=A$ chámase matriz hermitiana. Se temos $A^{*}=-A$ , entón $A$ chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

Matriz ortogonal[editar | editar a fonte]

Unha matriz ortogonal é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa:

A^{\textsf {T}}=A^{-1},

que implica

A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,

onde I é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal $A$ é necesariamente invertible (con inverso $A -1 = A T$ ), unitaria ( $A -1 = A *$ ) e normal ( $A * A = AA *$ ). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ consta das matrices $n \times n$ ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

Matriz normal[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada real ou complexa $A$ chámase normal se $A^{*}A=AA^{*}$ . Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

Operacións[editar | editar a fonte]

Traza[editar | editar a fonte]

A traza, tr( A ) dunha matriz cadrada A é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa:

\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).

Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir,

\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).

Determinante[editar | editar a fonte]

O determinante $|A|$ ou $\det(A)$ dunha matriz cadrada $A$ é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en $\mathbb {R} ^{2}$ ) ou volume (en $\mathbb {R} ^{3}$ ) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado por

\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.

O determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.^[3]

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos:

\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)

Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas. Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.