Matriz invertíbel

Unha interpretación espacial dunha matriz 3x3 é a de 3 planos secantes só na orixe. As coordenadas da matriz serían os coeficientes dos tres vectores normais ao plano nunha base dada.

En matemáticas, en particular en álxebra linear, unha matriz cadrada de orde n dise que é invertíbel, non singular, non dexenerada ou regular se existe outra matriz cadrada de orde n, chamada matriz inversa de A e denotada por $A^{-1}$ se $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}$, onde $I_{n}$ é a matriz identidade de orde n e o produto utilizado é o produto de matrices usual.

Unha matriz cadrada non invertíbel dise que é singular ou dexenerada. Unha matriz é singular se e só se o seu determinante é nulo. A matriz singular $A$ caracterízase porque a súa multiplicación pola matriz columna $X$ é igual a cero para algún $X$ non nulo. O conxunto destes vectores (e ao subespazo vectorial formado por eles) chamarase $kerA$ (de kernel, núcleo en alemán), para unha matriz invertíbel $kerA$ é o vector nulo.

A inversión de matrices é o proceso de atopar a matriz inversa dunha matriz dada.

Exemplos

Matriz de dúas filas (matriz adxunta)

Dada unha matriz de tamaño 2 x 2 con determinante non nulo, temos

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

e esta está definida a condición de que $ad-bc\neq 0$ con$a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Así por exemplo a inversa da matriz

${\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},$

xa que

${\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Matriz de tres filas

Dada unha matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ con determinante non nulo:

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}$

onde se definen

${\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}$

Propiedades da Matriz Inversa

Sexa $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ unha matriz de rango máximo

• A matriz inversa de $A$ é única.
• Se $B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ e $C\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ daquela a matriz inversa do produto $BC$ é

$\left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}$

• Se a matriz $A$ é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir

$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$

• E, evidentemente:

$\left((A^{-1})^{-1}\right)=A$

• Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de $A$ é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\$

onde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ é o determinante de $A$ e $\operatorname {adj} {(A)}\$é a matriz de adxuntos de $A$, entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés adjugate).

• O conxunto de matrices $n\times n$ con compoñentes sobre o corpo $\mathbf {K}$ que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear ${\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$ de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo $(\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )$.

Demostración da unicidade da inversa

Supoñamos que $B$ e $C$ son inversas de $A$

$AB=BA=I,\quad {\text{e}}\quad AC=CA=I$

Multiplicando ambas as relacións por $C$

$(BA)C=IC=C,\quad {\text{e}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B$

De modo que $B=C$ e próbase que a inversa é única.

Demostración do criterio de invertibilidade das matrices cadradas

Probarase a dupla implicación.

Suficiencia$(\Rightarrow )$

Supoñamos que existe $B$ tal que $AB=BA=I$. Entón ao aplicar a función determinante obtense

$\det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).$

Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que $\det(I)=1$ temos

$\det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,$

polo que deducimos que $\det(A)$ é distinto de cero.

Necesidade$(\Leftarrow )$

Supoña que o determinante de $A$ é diferente de cero. Sexa $a_{ij}$ o elemento ij da matriz $A$ e sexa $A_{ij}$ a matriz $A$ sen a liña $i$ e a columna $j$ (comunmente coñecido como $j$-ésimo menor de A). Entón temos que

$\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).$

A maiores, se $k\neq j$, entón podemos deducir que

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,$

xa que a parte esquerda da relación é o determinante de $A$ coa columna $j$ substituída pola columna $k$ e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.

Das dúas ecuacións anteriores podemos obter

$\delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.$

onde $\delta _{jk}$ é o delta de Kronecker.

Polo tanto, sabendo qie $(I)_{ij}=\delta _{ij}$ temos que

$\det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,$

é dicir, que $A$ ten inversa pola esquerda

${\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.$

Como $\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)$, así $A^{T}$ tamén ten unha inversa pola esquerda que é

${\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.$

Daquela

${\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,$

logo, aplicando a transposta

$A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,$

que é o que se quería demostrar.

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Pódese facer do seguinte xeito:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

Isto é posíbel sempre que $ad-bc\neq 0$, é dicir, o determinante da matriz non é cero.

Exemplo numérico:

$C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}$

Inversión de matrices de orde superior

Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\$

Onde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ é o determinante de $A$ e $\ \operatorname {adj} {(A)}\$ é a matriz adxunta de $A$.

Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.

Métodos numéricos

O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz de identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.

Grupo linear

O conxunto de todas as matrices $n\times n$ que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde n, denotado como ${\textrm {GL}}(n)$. Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores ${\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}$ é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de $\mathbb {R} ^{n^{2}}$).

Véxase tamén

Bibliografía

• "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 

• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – vía Google Books. 
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (November 15, 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23. 

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• Exercicios resolvidos de matrices inversas
• "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].