Matriz invertíbel
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/3_planos_secantes.png/220px-3_planos_secantes.png)
En matemáticas, en particular en álxebra linear, unha matriz cadrada de orde n dise que é invertíbel, non singular, non dexenerada ou regular se existe outra matriz cadrada de orde n, chamada matriz inversa de A e denotada por se , onde é a matriz identidade de orde n e o produto utilizado é o produto de matrices usual.
Unha matriz cadrada non invertíbel dise que é singular ou dexenerada. Unha matriz é singular se e só se o seu determinante é nulo. A matriz singular caracterízase porque a súa multiplicación pola matriz columna é igual a cero para algún non nulo. O conxunto destes vectores (e ao subespazo vectorial formado por eles) chamarase (de kernel, núcleo en alemán), para unha matriz invertíbel é o vector nulo.
A inversión de matrices é o proceso de atopar a matriz inversa dunha matriz dada.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Matriz de dúas filas (matriz adxunta)
[editar | editar a fonte]Dada unha matriz de tamaño 2 x 2 con determinante non nulo, temos
e esta está definida a condición de que con. Así por exemplo a inversa da matriz
xa que
Matriz de tres filas
[editar | editar a fonte]Dada unha matriz de tamaño con determinante non nulo:
onde se definen
Propiedades da Matriz Inversa
[editar | editar a fonte]Sexa unha matriz de rango máximo
- A matriz inversa de é única.
- Se e daquela a matriz inversa do produto é
- Se a matriz é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir
- E, evidentemente:
- Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:
onde é o determinante de e é a matriz de adxuntos de , entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés adjugate).
- O conxunto de matrices con compoñentes sobre o corpo que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo .
Demostración da unicidade da inversa
[editar | editar a fonte]Supoñamos que e son inversas de
Multiplicando ambas as relacións por
De modo que e próbase que a inversa é única.
Demostración do criterio de invertibilidade das matrices cadradas
[editar | editar a fonte]Probarase a dupla implicación.
Suficiencia
[editar | editar a fonte]Supoñamos que existe tal que . Entón ao aplicar a función determinante obtense
Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que temos
polo que deducimos que é distinto de cero.
Necesidade
[editar | editar a fonte]Supoña que o determinante de é diferente de cero. Sexa o elemento ij da matriz e sexa a matriz sen a liña e a columna (comunmente coñecido como -ésimo menor de A). Entón temos que
A maiores, se , entón podemos deducir que
xa que a parte esquerda da relación é o determinante de coa columna substituída pola columna e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.
Das dúas ecuacións anteriores podemos obter
onde é o delta de Kronecker.
Polo tanto, sabendo qie temos que
é dicir, que ten inversa pola esquerda
Como , así tamén ten unha inversa pola esquerda que é
Daquela
logo, aplicando a transposta
que é o que se quería demostrar.
Métodos de inversión de matrices
[editar | editar a fonte]Solución analítica
[editar | editar a fonte]Inversión de matrices 2×2
[editar | editar a fonte]Pódese facer do seguinte xeito: [1]
Isto é posíbel sempre que , é dicir, o determinante da matriz non é cero.
Exemplo numérico:
Inversión de matrices de orde superior
[editar | editar a fonte]Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:
Onde é o determinante de e é a matriz adxunta de .
Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.
Métodos numéricos
[editar | editar a fonte]O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz de identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.
Grupo linear
[editar | editar a fonte]O conxunto de todas as matrices que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde n, denotado como . Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de ).
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole. pp. 46. ISBN 0-03-010567-6.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – vía Google Books.
- Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (November 15, 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Exercicios resolvidos de matrices inversas
- "Inversion of a matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].