Logaritmo natural

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática $e$ , que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a $2.718 281828459$ . O logaritmo natural de $x$ escríbese xeralmente como $ln x$ , $log e x$ , ou ás veces, se a base $e$ está implícita, simplemente $log x$ . ^[1] Ás veces engádense parénteses para claridade, dando $ln(x)$ , $log e (x)$ ou $log(x)$ . Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.

O logaritmo natural de $x$ é a potencia á que habería que elevar $e$ para igualar $x$ . Por exemplo, $ln 7.5$ é $2.0149...$ , porque $e 2.0149... = 7.5$ . O logaritmo natural de $e$ , $ln e$ , é $1$ , porque $e 1 = e$ , mentres que o logaritmo natural de $1$ é $0$ , xa que $e 0 = 1$ .

O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo $a$ como a área baixo a curva $y = 1/ x$ de $1$ a $a$ ^[2] (sendo a área negativa cando $0 < a < 1$ ). A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.

A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: ${\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma: ^[3] $\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.$

Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só $e$ . No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, $\log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e$ .

Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.

Definicións

O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.

Inversa de exponencial

A definición máis xeral é como a función inversa de $e^{x}$ , para que $e^{\ln(x)}=x$ . Para os números complexos, $e^{z}$ non é invertíbel, polo tanto $\ln(z)$ é unha función multivalor. Para facer $\ln(z)$ unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por $\operatorname {Ln} (z)$ .

Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como $\ln(z)=ln|z|+i\arg(z)$ onde $|z|$ é o módulo do complexo e $\arg(z)$ é o argumento do complexo, por exemplo $\ln(3+4i)=1.6094+0.9273i$ .

Definición como integral

A área baixo a hipérbole cumpre a regra do logaritmo. Aquí $A (s, t)$ denota a área baixo a hipérbole entre $s$ e $t$ .

O logaritmo natural dun número real positivo $a$ pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación $y = 1/ x$ entre $x = 1$ e $x = a$ . Esta é a integral ^[2] $\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$ Se $a$ está dentro do intervalo $(0,1)$ , entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.

O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: $\ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt$

Propiedades

O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{para }}\;x>0\;{\text{e }}\;y>0$
$\ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{para }}\;x>0\;{\text{e }}\;y>0$
$\ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{para }}\;x>0$
$\ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{para }}\;x>0\;{\text{e }}\;y\neq 0$
$\ln x<\ln y\quad {\text{para }}\;0<x<y$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{para }}\;x>0$
${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{para }}\quad x>0$
$\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{para }}\quad x\geq 0\;{\text{e }}\;\alpha \geq 1$

Derivada

A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por ^[2] ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

A maiores temos: ${\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

polo tanto, a diferenza da súa función inversa $e^{ax}$ , unha constante na función logaritmo non altera o diferencial.

Serie

Os polinomios de Taylor para $ln(1 + x)$ só proporcionan aproximacións precisas no intervalo $-1 < x \leq 1$ . Máis aló dalgún $x > 1$ , os polinomios de Taylor de grao superior son aproximacións cada vez *peores*.

Como o logaritmo natural non está definido en 0, $\ln(x)$ en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,$ entón ^[4] ${\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}$

Esta é a serie Taylor para $\ln x$ arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: $\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,$ válido para $|x|\leq 1$ e $x\neq -1.$

Un caso especial útil para números enteiros positivos $n$ , tomando $x={\tfrac {1}{n}}$ , é: $\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots$

O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito:^[5] $\ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)$

Dous exemplos poden ser: $\ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...$

O logaritmo natural na integración

O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma $g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$ ; unha antiderivada de $g (x)$ vén dada por $\ln(|f(x)|)$ . Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada da función elemental $\ln |x|$ : ${\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0.$

Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe $x=0$ temos $\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$ onde $C$ é unha constante arbitraria de integración.^[6]

Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde $f(x)\neq 0$ temos

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

Por exemplo, considere a integral de $\tan(x)$ nun intervalo que non inclúe puntos onde $\tan(x)$ é infinito: $\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.$

O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.$

Sexa: $u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}$ $dv=dx\Rightarrow v=x$ daquela: ${\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}$

Logaritmo natural de 10

O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a $2.302 58509$ , xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: $\ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.$

Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo $[1, 10)$ .

Fraccións continuas

Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: ${\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.

Logaritmos complexos

Artigo principal: Logaritmo complexo.

A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como $e z$ para calquera número complexo arbitrario $z$ ; simplemente úsase a serie infinita con $x$ =z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas:

ningún $x$ ten $e x = 0$ ;
resulta que $e 2 πi = 1 = e 0$ e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, $e z = e z +2 kiπ$ , temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo $z$ cos múltiples enteiros $k$ .

Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de $2 iπ$ . O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con $k=0$ . Por exemplo, $\ln(i)={\frac {\pi i}{2}}.$

Gráficos da función de logaritmo natural no plano complexo (rama principal)
$z = Re(ln(x + yi))$
$z = | (Im(ln(x + yi))) |$
$z = | (ln(x + yi)) |$
Superposición das tres gráficas anteriores

Notas

↑ G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-29.
↑ "logaritmo". Encyclopedia Britannica.
↑ ""Logarithmic Expansions" at Math2.org".
↑ RUFFA, Anthony. "A PROCEDURE FOR GENERATING INFINITE SERIES IDENTITIES" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Consultado o 27 February 2022. (Page 3654, equation 2.6)
↑ Para unha porba detallada pódese ver por exemplo: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

Véxase tamén

Bibliografía

Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter 10.4. Logarithm near one". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. pp. 290–292. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. doi:10.1007/978-3-319-64110-2.

Outros artigos

Ligazóns externas

Logaritmo natural en MathWorld.

[1] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".

[:1-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-29.

[:2-3] "logaritmo". Encyclopedia Britannica.

[4] ""Logarithmic Expansions" at Math2.org".

[5] RUFFA, Anthony. "A PROCEDURE FOR GENERATING INFINITE SERIES IDENTITIES" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Consultado o 27 February 2022. (Page 3654, equation 2.6)

[6] Para unha porba detallada pódese ver por exemplo: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]