Saltar ao contido

Función inversa

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Unha función f e a súa inversa f −1. Como f relaciona a con 3, a inversa f −1 relaciona 3 con a .

En matemáticas, a función inversa dunha función f (ou simplemente inversa de f ) é unha función que desfai a operación de f . A inversa de f existe se e só se f é bixectiva, e se existe, denotase por

Para unha función , a súa inversa admite unha descrición explícita: envía cada elemento ao elemento único tal que f(x) = y.

Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por f(x) = 5x − 7. Para desfacer isto, temos a inversa de f , que sería a función definida por

Definicións[editar | editar a fonte]

Se f mapea X en Y, entón f −1 mapea Y de novo en X.

Sexa f unha función cuxo dominio é o conxunto X e cuxo codominio é o conxunto Y Entón f é invertible se existe unha función g de Y a X tal que para todos os e para todos os .[1]

Se f é invertible, entón hai exactamente unha función g que satisfai esta propiedade.

A función f é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición para todos os implica que f é Inxectiva e a condición para todos os implica que f é sobrexectiva.

Inversas e composición[editar | editar a fonte]

Lembre que se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón

, para cada e para cada .

Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:

e

onde idX é a función de identidade no conxunto X; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.

Notación[editar | editar a fonte]

Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.

Un exemplo típico é sin−1(x) que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é x que denotamos tamén como arcsin(x). Isto sería diferente ao recíproco do seno

Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos

.

Exemplos[editar | editar a fonte]

Funcións do cadrado e da raíz cadrada[editar | editar a fonte]

A función f: R → [0,∞) dada por f(x) = x2 non é inxectiva porque para tódolos . Polo tanto, f non é invertible se consideramos o dominio completo.

Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible. [2] A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por .

Funcións inversas estándar[editar | editar a fonte]

A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:

Funcións aritméticas inversas
Función f(x) Inversa f −1(y) Notas
x + a ya
ax ay
mx y/m m ≠ 0
1/x (isto é, x−1) 1/y (isto é, y−1) x, y ≠ 0
xp (isto é, y1/p) x, y ≥ 0 se p é par; enteiro p > 0
ax logay y > 0 e a > 0
x e x W  (y) x ≥ −1 e y ≥ −1/e
funcións trigonométricas funcións trigonométricas inversas varias restricións (ver táboa embaixo)
función hiperbólica funcións hiperbólicas inversas varias restricións
función Rango do usual valor principal
arcsin π/2 ≤ sin−1(x) ≤ π/2
arccos 0 ≤ cos−1(x) ≤ π
arctan π/2 < tan−1(x) < π/2
arccot 0 < cot−1(x) < π
arcsec 0 ≤ sec−1(x) ≤ π
arccsc π/2 ≤ csc−1(x) ≤ π/2

Propiedades[editar | editar a fonte]

Unicidade[editar | editar a fonte]

Se existe unha función inversa para unha función f dada, entón é única.[3]

Simetría[editar | editar a fonte]

Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón a súa inversa f −1 ten dominio Y e imaxe X, e a inversa de f −1 é a función orixinal f .

Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que f sexa invertible debe ser bixectiva.

O inverso de g ∘ f é f −1 ∘ g −1 .

A inversa dunha composición de funcións vén dada por [4]

Observe que a orde de g e f foron invertidas; para desfacer f seguido de g, primeiro debemos desfacer g, e despois desfacer f .

Por exemplo, sexa f(x) = 3x e sexa g(x) = x + 5. Entón a composición g ∘ f é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,

Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,

Esta é a composición (f −1 ∘ g −1)(x).

Autoinversas[editar | editar a fonte]

Se X é un conxunto, entón a función de identidade en X é a súa propia inversa:

Máis xeralmente, unha función f : XX é igual á súa propia inversa, se e só se a composición f ∘ f é igual a idX . Tal función chámase involución.

Gráfica da inversa[editar | editar a fonte]

As gráficas de y = f(x) e y = f −1(x). A liña de puntos é y = x.

Se f é invertible, entón a gráfica da función

é a mesma que a gráfica da ecuación

Inversas e derivadas[editar | editar a fonte]

O teorema da función inversa afirma que unha función continua f é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función

é invertible, xa que a derivada f′(x) = 3x2 + 1 é sempre positiva.

Se a función f é derivable nun intervalo I e f′(x) ≠ 0 para cada xI, entón a inversa f −1 é derivable en f(I) .[5] Se y = f(x), a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,

Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como

Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.

O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable f : RnRn é invertible nunha veciñanza dun punto p sempre que a matriz xacobiana de f en p sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de f −1 en f(p) é a matriz inversa do xacobiano de f en p.

Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]