Conxunto convexo

Un conxunto convexo.

Un conxunto cóncavo.

Un subconxunto X dun espazo vectorial real ou complexo é convexo cando todo segmento de recta que liga dous puntos de X está contido en X.

Ou sexa:

$\forall x,y\in X\ \forall t\in \left[0,1\right]\ (1-t)\ x+t\ y\in X\,$

Se X non é convexo, chámase cóncavo. O menor convexo que contén un subconxunto X desígnase envolvente convexa de X.

Exemplos

• En $\mathbb {R}$, convexo é equivalente a conexo, ou sexa, os subconxuntos convexos de números reais son os intervalos (incluíndo os unitarios).${\displaystyle }$
• Os sólidos platónicos;
• Os segmentos de recta;
• Os subespazos vectoriais dun espazo vectorial;

Xeneralizacións e extensións para a convexidade

Espazos de convexidade

A noción de convexidade pode xeneralizarse a outros obxectos se consideramos certas propiedades dos conxuntos convexos usuais como axiomas.

Dado un conxunto X, unha convexidade sobre X é unha colección 𝒞 de subconjuntos de X que satisfán os seguintes axiomas:

1. O conxunto baleiro e X están en 𝒞.
2. A intersección de calquera colección de elementos de 𝒞 está en 𝒞.
3. A unión dunha cadea (con respecto á relación de inclusión) de elementos de 𝒞 está en 𝒞..

Os elementos de 𝒞 chámanse conxuntos convexos e o par (X, 𝒞) recibe o nome de espazo de convexidade. Para a convexidade ordinaria, os dous primeiros axiomas verifícanse e o terceiro é trivial.

Para unha definición alternativa de convexidade abstracta, máis axeitada para xeometría discreta, véxanse as xeometrías convexas asociadas con antimatroides.

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxunto absolutamente convexo
• Concavidade