Función gamma

En matemáticas, a función gamma (denotada como $\scriptstyle \Gamma (z)\,\!$ , onde $\scriptstyle \Gamma$ é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$

converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásica

Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación $n!=n(n-1)!$ do factorial. Pódese avaliar $\Gamma (1)$ analiticamente:

\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }\left.-e^{-t}\right|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,

para os enteiros non negativos n.

A función gamma é unha función meromorfa de $z\in \mathbb {C}$ con polos simples en $z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )$ e residuos $\operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$ .^[1] Estas propiedades poden ser empregadas para estender $\Gamma (z)$ dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativas

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}

onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa $z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots$

{\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}

Tamén se pode a seguinte representación integral:

\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes

Atopar $\Gamma (1)$ é sinxelo:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1$

Obtense logo unha fórmula para $\Gamma (n+1)$ como unha función de $\Gamma (n)$ :

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx$

Empregando integración por partes para resolver a integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

No límite inferior obtense directamente ${\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0$ .

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 1}{e^{x}}}=0$ .

Polo que se anula o primeiro termo, $\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$ , o que nos dá o seguinte resultado:

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

A parte dereita da ecuación é exactamente $n\Gamma (n)$ , co que se obtén unha relación de recorrencia:

\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)

.

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

\Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,

\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,

\Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,

\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!

Propiedades

Da representación integral obtense:

$\lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty$ .

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler

$\Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!$

e a fórmula de duplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!$

A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!$

Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!$

Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!$

que se pode obter facendo $z=1/2$ na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con $x=e=1/2$ ou facendo a substitución $u={\sqrt {t}}$ na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}$ (n impar)

onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,\!$

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é:

${d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt.$

A función gamma ten un polo de orde 1 en $z=-n$ para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!$

O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de $\Gamma (z)$ para valores 0 < z < 1 é:

$\Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots$

Onde $\zeta (n)$ é a función zeta de Riemann.

Función pi

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:

\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

\Pi (n)=n!.\!

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

\Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

\Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!

Ás veces atópase a seguinte definición

\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!

onde $\pi (z)$ é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funcións

Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior $\gamma (a,x)$ e inferior $\Gamma (a,x)$ obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!

\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!

A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!

A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma $\psi ^{(0)}(z)$ . As derivadas de maior orde son as funcións poligamma $\psi ^{(n)}(z)$ .

\psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}

\psi ^{(n)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n+1}\log \Gamma (x)

O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann $\zeta (z)$ :

\zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!.

Fórmula válida só se $\operatorname {Re} (z)>1$ . Tamén aparece na ecuación funcional de $\zeta (z)$ :

\pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).

Valores da función gamma

{\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}

Aproximacións

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gamma

Cálculo fraccionario

A n-ésima derivada de $ax^{b}$ (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}$

como $n!=\Gamma (n+1)$ entón ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}$ onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de $x$ , de $x^{2}$ e inclusive dunha constante $c=cx^{0}$ :

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}$

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}$

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}$

Notas

↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Véxase tamén

Bibliografía

Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". History of Mathematics (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30).
Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". Am. Math. Monthly (66): 849–869.
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016.
Havil, Julian (2003). gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9.
Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function".
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nova York: Dover.
Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press.
Hochstadt, Harry (1986). "3". The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover.
Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press.
Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, Edicións Schaumm.
Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Outros artigos

Ligazóns externas

Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com (en inglés)
Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ (en inglés)
Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
Approximation Formulas - Aproximacións.
Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitraria^{[Ligazón morta]}.
Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages (en inglés)
Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
Calculadora Función gamma

[1] George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

[1]