Fórmula de Stirling

A diferenza relativa entre (ln x!) e (x ln x - x) tende a cero ao crecer x.

En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.

A aproximación exprésase como

$\ln n!\approx n\ln n-n\,$

para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural

Definición formal

A fórmula de Stirling está dada por

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$

que se reescribe frecuentemente como

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

máis exactamente a fórmula é como segue

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }$

onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.

A lista dos denominadores é: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).$

Unha acoutación da fórmula é

${\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n}}$

Por exemplo:

$29!=8841761993739701954543616000000$

${e}^{\frac {1}{12\;29+1}}=1,002869438...$

${e}^{\frac {1}{12\;29}}=1,002877696...$

$29!={\sqrt {2\pi 29}}\;\left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1,002877577...$

Usos

A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a $N\approx 10^{23}$ partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.