Función convexa

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Gráfico dunha función convexa

En matemática, unha función [a,b]\to\mathbb{R} é dita convexa se a rexión sobre o seu gráfico é un conxunto convexo. Ou, equivalentemente, de forma analítica, para calquera x e y pertencentes a [a,b]\, e para todo t en [0,1]\,, tense

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).

Unha función dise estritamente convexa se :

f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\, para todo t en (0,1) e x\neq y\,.

Propriedades das funcións convexas[editar | editar a fonte]

  • Unha función convexa en [a,b]\, é sempre continua en (a,b)\,.
f\left( \frac{x+y}2 \right) \le  \frac{f(x)+f(y)}2 . para todo x,y ∈ C.
f(y)\geq f(x) + f'(x)(y-x), para todos x e y no intervalo.
  • Se a súa segunda derivada é estritamente positiva entón a función é estritamente convexa.
  • O máximo de funcións convexas tamén é unha función convexa.

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • A función f(x)=x^2\, é convexa.
  • A función f(x)=e^x\, é convexa.
  • O valor absoluto é unha función convexa \left(f(x)=|x|\right)\,

Extensións[editar | editar a fonte]

Sexa \mathbb{V}\, un espazo vectorial e C\, un conxunto convexo contido en \mathbb{V}\,, entón unha función f:C\to\mathbb{R}\, é dita convexa se:

f(tx+(1-t)y) \leq t f(x)+(1-t)f(y)\, para todo t en [0,1].

E estritamente convexa se:

f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\, para todo t\, em (0,1) e x\neq y\,.

Exemplos[editar | editar a fonte]

Aplicacións[editar | editar a fonte]

  • Funcións convexas son amplamente utilizadas para demostrar desigualdades tales como a desigualdade de Young.
  • A convexidade desempeña un papel moi importante na aplicación de métodos variacionais para EDPs non lineais.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]