Factorial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Nas matemáticas, o factorial dun número natural n é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a n. Iso é escrito como n! e lido como "factorial de n ". A notación n! foi introducida por Christian Kramp en 1808.[1]

Definición[editar | editar a fonte]

A función factorial é definida normalmente como:

Por exemplo,

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Esa definición implica en particular que

0! = 1

porque o produto de ningún número é 1 (ver produto vacío para unha descrición dese evento).[2] Débese prestar atención ao valor do produto vacío neste caso porque fai que a relación recursiva (n + 1)! = n!(n + 1) funcione para n = 1;

A función factorial tamén se pode definir (inclusive para non-enteiros) a través da función gamma:

A secuencia dos factoriais (secuencia A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... comeza con:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

Aplicacións[editar | editar a fonte]

n! = n (n − 1)!

Como calcular factoriais[editar | editar a fonte]

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicación repetida se n non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69!, porque 70! > 10100.

Cando n é grande de máis , n! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling:[8]

Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:

Logaritmo de factorial[editar | editar a fonte]

O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

Log-factorial.PNG

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling.

Xeneralizacións[editar | editar a fonte]

A función gamma[editar | editar a fonte]

A función gamma Γ(z) é definida para todos os números complexos z excepto os enteiros non positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai un relacionamento recursivo similar a aquel da función factorial:

Xunto coa definición Γ(1) = 1 iso xera a ecuación

Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:

  • Significado compartido: A definición canónica da función factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartido por ambos.
  • Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai o relacionamento recursivo mencionado para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial.
  • Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

Multifactoriais[editar | editar a fonte]

Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un multifactorial, o produto de enteiros en pasos de (n!!), tres (n!!!), ou máis.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son:

Débese ser cuidadoso para non interpretar n!! como o factorial de n!, que debería ser escrito (n!)! e é un número moito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante máis comumente usada, mais pódese definir o factorial triplo do memso modo (n!!!) e así por diante. En xeral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como

Hiperfactoriais[editar | editar a fonte]

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

Superfactoriais[editar | editar a fonte]

Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o superfactorial en 1995 como o produto dos primeiros n factoriais. Así, o superfactorial de 4 é

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.

No xeral,

A secuencia de superfactoriais comeza (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (secuencia A000178 na OEIS)

Esa idea pode ser facilmente estendida para superduperfactorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando con n=0), así

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (secuencia A055462 na OEIS)

e aí en diante, recursivamente para todos os factoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produtod dos primeiros n (m-1)-factorials, i.e.

onde para e .

Superfactoriais (definición alternativa)[editar | editar a fonte]

Clifford Pickover, no seu libro Keys to Infinity, de 1995, definiu o superfactorial de n, escrito como n$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como

onde a notación (4) denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth,

Esa secuencia de superfactoriais comeza:

Factoración prima de factoriais[editar | editar a fonte]

A potencia de p que ocorre na factoración prima de n! é

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Higgins, Peter (2008). Number Story: From Counting to Cryptography. Nova York: Copernicus. p. 12. ISBN 978-1-84800-000-1. , mais di Krempe.
  2. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
  3. Cheng, Eugenia (2017-03-09). Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe (en inglés). Profile Books. ISBN 9781782830818. 
  4. Conway, John H.; Guy, Richard (1998-03-16). The Book of Numbers (en inglés). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387979939. 
  5. Knuth, Donald E. (1997-07-04). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms (en inglés). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321635747. 
  6. "18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series". MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Consultado o 2017-05-03. 
  7. Kardar, Mehran (2007-06-25). "Chapter 2: Probability". Statistical Physics of Particles (en English). Cambridge University Press. ISBN 9780521873420. 
  8. Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]