Saltar ao contido

Función gamma inversa

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
</img>
Gráfica dunha función gamma inversa
</img>
Gráfica da función gamma inversa no plano complexo

En matemáticas, a función gamma inversa é a función inversa da función gamma. Noutras palabras, sempre que . Por exemplo, .[1] A función gamma inversa refírese normalmente á rama principal con dominio no intervalo real e imaxe sobre o intervalo real , onde [2] é o valor mínimo da función gamma no eixe real positivo e é a localización dese mínimo.[3]

Definición

[editar | editar a fonte]

Podemos definir a función gamma inversa coa seguinte representación integral[4]onde é unha medida de Borel tal quee e son números reais con .

Aproximación

[editar | editar a fonte]

Para calcular as ramas da función gamma inversa pódese calcular primeiro a serie de Taylor de preto de . A serie pode logo ser truncada e invertida, o que produce sucesivamente mellores aproximacións . Por exemplo, temos a aproximación cadrática:[5] Tamén temos para a función gamma inversa a seguinte fórmula asintótica[6] onde é a función W de Lambert. Esta fórmula conséguese invertendo a aproximación de Stirling, polo que tamén se pode expandir nunha serie asintótica.

Expansión en serie

[editar | editar a fonte]

Para obter unha expansión en serie da función gamma inversa pódese calcular primeiro a expansión en serie da función gamma recíproca preto dos polos nos enteiros negativos, e despois inverter a serie.

Pondo temos, para a rama n da función gamma inversa ()[7]onde é a función poligamma.

  1. Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. (2017). Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly 125. pp. 400–424. JSTOR 48663320. arXiv:1703.05349. doi:10.1080/00029890.2018.1420983. 
  2. (secuencia A030171 na OEIS)
  3. Uchiyama, Mitsuru (April 2012). The principal inverse of the gamma function. Proceedings of the American Mathematical Society 140. p. 1347. JSTOR 41505586. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2. 
  4. Pedersen, Henrik (9 September 2013). "Inverses of gamma functions". Constructive Approximation 7. pp. 251–267. arXiv:1309.2167. doi:10.1007/s00365-014-9239-1. 
  5. Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David (2017). Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. p. 65. ISBN 978-1-5386-2626-9. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. 
  6. Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David (2018). "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (MS). p. 28. 
  7. Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert (November 2020). The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation. Maple Conference Proceedings. Section 8. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]