Función gamma

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Función gamma no eixe real.
Valor absoluto da función gamma no plano complexo.

En matemáticas, a función gamma (denotada como , onde é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral


converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón


o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásica[editar | editar a fonte]

A función gamma no plano complexo.

Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación do factorial. Pódese avaliar analiticamente:

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

para os enteiros non negativos n.

A función gamma é unha función meromorfa de con polos simples en e residuos .[1] Estas propiedades poden ser empregadas para estender dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativas[editar | editar a fonte]

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:

onde é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa

Tamén se pode a seguinte representación integral:

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes[editar | editar a fonte]

Atopar é sinxelo:

Obtense logo unha fórmula para como unha función de :

Empregando integración por partes para resolver a integral

No límite inferior obtense directamente .

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

.

Polo que se anula o primeiro termo, , o que nos dá o seguinte resultado:

A parte dereita da ecuación é exactamente , co que se obtén unha relación de recorrencia:

.

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

Propiedades[editar | editar a fonte]

Da representación integral obtense:


.

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler


e a fórmula de duplicación


A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación


Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:


Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:


O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:


que se pode obter facendo na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con ou facendo a substitución na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense:


    (n impar)

onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:


A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é:


A función gamma ten un polo de orde 1 en para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:


O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de para valores 0 < z < 1 é:

Onde é a función zeta de Riemann.

Función pi[editar | editar a fonte]

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

Ás veces atópase a seguinte definición

onde é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funcións[editar | editar a fonte]

  • Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior e inferior obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.
  • A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

Fórmula válida só se . Tamén aparece na ecuación funcional de :

Valores da función gamma[editar | editar a fonte]

Aproximacións[editar | editar a fonte]

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gamma[editar | editar a fonte]

Cálculo fraccionario[editar | editar a fonte]

A n-ésima derivada de (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

como entón onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de , de e inclusive dunha constante :

Notas[editar | editar a fonte]

  1. George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". History of Mathematics (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30). 
  • Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". Am. Math. Monthly (66): 849–869. 
  • Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). 
  • Havil, Julian (2003). gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9. 
  • Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function". 
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nova York: Dover. 
  • Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press. 
  • Hochstadt, Harry (1986). "3". The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover. 
  • Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press. 
  • Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, Edicións Schaumm.
  • Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]