Teorema do binomio

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}$

O coeficiente binomial ${\tbinom {n}{k}}$ aparece como a entrada k-ésima na n-ésima fila do triángulo de Pascal (onde a fila superior é a fila 0, ${\tbinom {0}{0}}=1$). Cada entrada é a suma das dúas superiores.

En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio (x + y)ⁿ nunha suma que implique termos da forma ax^by^c, onde os expoñentes b e c son enteiros non negativos con b + c = n e o coeficiente a de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de n e b . Por exemplo, para n = 4,

$$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$$

O coeficiente a no termo de ax^by^c coñécese como coeficiente binomial ${\tbinom {n}{b}}$ ou ${\tbinom {n}{c}}$ (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar n e b pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde ${\tbinom {n}{b}}$ dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de b elementos que se poden escoller entre un conxunto de n elementos, e de aí podemos ler "n sobre b" ou "n en b".

Teorema

Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa n do binomio x + y é unha suma da forma

$$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$$

onde cada un ${\tbinom {n}{k}}$ é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido como

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.$$

Usando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa como

$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$

Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:

$$(x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$$

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo 1 por y, de xeito que só implica unha única variábel:

$${\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}$$

Exemplos

Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:

$${\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}$$

• os expoñentes de x nos termos son n, n − 1, ..., 2, 1, 0 n, n − 1, ..., 2, 1, 0 (o último termo contén implicitamente x⁰ = 1 );
• os expoñentes de y nos termos son 0, 1, 2, ..., n − 1, n 0, 1, 2, ..., n − 1, n (o primeiro termo contén implicitamente y⁰ = 1 );
• os coeficientes forman a n ésima fila do triángulo de Pascal;
• hai n + 1 termos, e os seus coeficientes suman 2ⁿ .

Coeficientes binomiais

Artigo principal: Coeficiente binomial.

Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse ${\tbinom {n}{k}},$ e pódese ler como "n sobre k", combinacións de n elementos tomados en grupos de k elementos.

O coeficiente de x^n−ky^k vén dado pola fórmula

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}}.$$

O coeficiente binomial ${\tbinom {n}{k}}$ pódese interpretar como o número de formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos.

Xeneralizacións

Teorema binomial xeneralizado de Newton

Artigo principal: Serie binomial.

Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:

${(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}$

onde $r$ pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r!}{(r-k)!k!}}$

Expresado co símbolo de Pochhammer:

$${r \choose k}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}}$$

.

Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos $x$ e $y$ sexan suficientemente próximos, no sentido de que $x>y$ e o valor absoluto de ${\Big |}{\frac {x}{y}}{\Big |}$ sexa menor que 1.

A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:

${\frac {1}{(1-x)^{r}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{r+k-1 \choose k}x^{k}$

Exemplos (lembrando que $|x|<1$):

$${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .$$

$${\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$$

Teorema Multinomial

Artigo principal: Teorema multinomial.

O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.$

Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde $k_{1}$ ata $k_{m}$ de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a $n$. Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.$

Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de $n$ elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}$

Teorema multi-binomial

A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais:

$(x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\,x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc \;{\binom {n_{d}}{k_{d}}}\,x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.$

A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$

Regra xeral de Leibniz

A regra xeral de Leibniz dá a derivada n-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio:

$$(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).$$

Aquí, o superíndice (n) indica a derivada n-ésima dunha función, $f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$.

Aplicacións

Identidades de ángulos múltiples

Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,

$$\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.$$

e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),$$

Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con $(\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)$, así

$$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,$$

que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,$$

A fórmula de De Moivre resulta

$$\cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.$$

En xeral,

$$\cos(nx)=\sum _{k{\text{ par}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x$$

e

$$\sin(nx)=\sum _{k{\text{ impar}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.$$

Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.

Serie para e

O número e adoita definirse pola fórmula

$$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$$

Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para e:

$$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.$$

O k-ésimo termo desta suma é

$${n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}$$

Cando n → ∞, a expresión racional da dereita achégase a 1, e polo tanto

$$\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.$$

Isto indica que e pódese escribir como unha serie:

$$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .$$

Probabilidade

O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes $\{X_{t}\}_{t\in S}$ con probabilidade de éxito $p\in [0,1]$ nos que non aconteza ningún sería

$P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.$

Un límite superior para esta cantidade é $e^{-p|S|}.$

En álxebra abstracta

O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos x e y nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que xy = yx. Por exemplo, vale para dúas matrices n × n, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bag, Amulya Kumar (1966). Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci 1. pp. 68–74. 
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison Wesley. pp. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 17649857. 

Outros artigos

• Distribución binomial
• Teorema binomial inverso
• Aproximación de Stirling
• Teorema de Tannery
• Grupo simétrico
• Coeficeinte binomial de Gauss

Ligazóns externas

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994]. "Newton binomial". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.