Serie (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, unha serie é a suma dos términos dunha sucesión. Represéntase unha serie con términos como

onde N é o índice final da serie. As series infinitas van desde 1 ata .

As series poden converxer ou diverxer. En cálculo, unha serie diverxe se converxe a infinito. Para os matemáticos, unha serie diverxe se non converxe a nada.


Algúns tipos de series[editar | editar a fonte]

  • Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo término está producido multiplicando o término previo por unha constante. Exemplo:
En xeral, as series xeométricas
converxen se e soamente se |z| < 1.
  • Unha serie alternada é unha serie onde os términos alternan o signo. Exemplo:

Criterios de converxencia[editar | editar a fonte]

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe ( ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie é converxente, entón .

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se entón é diverxente

Criterio de D'Alembert[editar | editar a fonte]

Sexa unha serie , tal que (términos non negativos).

Se existe

con , o Criterio de D'Alembert establece que:

  • se l < 1, a serie converxe.
  • se l > 1, a serie diverxe.
  • se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)[editar | editar a fonte]

Sexa unha serie , tal que (terminos non negativos). E supoñamos que existe

, siendo

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluir nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluir algo.

Criterio de Raabe[editar | editar a fonte]

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocurrir que o límite que nos de , sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocurre, recurrimos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recurrir a el cando o límite de que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie , tal que (términos non negativos). E supoñamos que existe

, sendo

Por tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia[editar | editar a fonte]

Converxencia absoluta[editar | editar a fonte]

Unha serie converxe absolutamente se

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.


Este artigo tan só é un bosquexo
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.