Triángulo de Pascal

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Triángulo de Pascal ou de Tartaglia.

O triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de números enteiros, infinito e simétrico.

Fundamentos[editar | editar a fonte]

Constrúese do seguinte xeito: Empézase polo « 1 » do cume. Dunha liña á seguinte convense escribir os números cun desfasamento de media casa. Así, as casas (que non se debuxan) terán cada unha dúas casas xusto encima, na liña anterior. O valor que se escribe nunha casa é a suma dos valores das dúas casas enriba dela. O valor cero non se escribe. Por exemplo, na última liña debuxada, o cuarto valor é 84 = 28 + 56, suma do terceiro e cuarto valor da liña anterior. Obsérvase, e non é difícil demostralo, que a capa exterior está formada de uns, a segunda capa dos naturais en orde crecente, que os números non fan máis que subir dunha liña á seguinte e que existe un eixo de simetría vertical que pasa polo vértice.

Con todo, o interese deste triángulo non radica nestas propiedades, senón no vínculo que ten co álxebra elemental. En efecto, as cifras 1; 2; 1 e 1; 3; 3; 1 recordan as identidades:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad    y      (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2+ b^3 \quad

pois son os coeficientes dos seus monomios. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio a + b.

Relación entre o triángulo de Pascal e o binomio de Newton[editar | editar a fonte]

A fórmula que dá o desenvolvemento de (a+b)^n segundo as potencias crecentes de a (e decrecientes de b) chámase binomio de Newton. Nesta expresión, o único que se descoñece son os coeficientes dos monomios a^k b^{n-k}.

Teorema

Os coeficientes da forma desenvolvida de (a + b)n son dados
pola liña número n+1 do triángulo de Pascal (a que empeza por 1 e n).

Proba

Xa está visto que é certo para n=2 e n=3. Tamén o é para n=0.
Para establecer o resultado para calquera valor de n ∈ ℕ, o máis natural é proceder por indución. Supondo que é certo para un valor de n, hai que deducir que o é tamén para n+1. No canto de facelo no caso xeral (sería pouco claro) miremos que sucede ao pasar da liña n = 3 á liña n = 4.

Triángulo Pascal binomio Newton.png

Como o mostra a figura, o desenvolvemento de (a + b)4 consiste en dúas copias do desenvolvemento de (a + b)³. Están desfasadas (unha corresponde a a⋅(a + b)³ e a outra a b⋅(a + b)³) e cando se suman, un mesmo coeficiente aparece nunha posición dada e outra vez a un paso á dereita.
Se se considera só os coeficientes, inscritos en sendas casas, obtemos a suma seguinte:

Triángulo Pascal binomio Newton 2.png

e obviamente non fai falta escribir dúas veces as mesmas cifras: a suma consiste en engadir a un coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (o 1 co 3, o 3 co segundo 3, etc) e isto é xustamente o que se fai no triángulo de Pascal. Noutras palabras, o triángulo simula a multiplicación de (a + b), dunha liña á seguinte.

Coeficientes do binomio de Newton[editar | editar a fonte]

Triángulo de Pascal en tabla.png

Inscríbese o triángulo de Pascal nunha táboa para poder nomear a cada coeficiente do mesmo. O número na liña n e a columna p denótase:

n \choose k ou máis raramente C_n^k

("C" por "combinación") (por exemplo en calculadoras de peto, como a TI-86 e familia), e dise "n sobre k", "combinación de n en k" moito máis curto que "coeficiente binomial n, k". As casas baleiras corresponden a valores nulos. Por definición mesma, temos, (para todo n natural):

 (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^{n-k} b^k

para calquera valor de a e b. De feito, é unha igualdade de polinomios en ℤ[a, b]. Sen perder en xeneralidade, resulta ás veces máis práctica a "definición" :

 (X+1)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} X^k

vista como unha igualdade de polinomios en ℤ[X]. Desta fórmula dedúcense dúas consecuencias:

Tomando X = 1 obtense: \sum_{k=0}^n {n\choose k} = 2^n

A suma dos coeficientes dunha mesma liña vale 2n. En efecto: 1 = 20, 1 + 1 =2= 2¹, 1 + 2 + 1 =4= 2², 1 + 3 + 3 + 1 =8= 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 =16= 24 ... · Con X = -1 obtense, (n > 0):

\sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k = 0  : a suma alterna dos números dunha mesma liña vale 0.

En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... As propiedades que observamos no triángulo pódense agora escribir con todo rigor:

.
 {n\choose 0} = {n\choose n} = 1 (costados esquerdos e dereitos do triángulo).
.
 {n\choose 1} = {n\choose {n-1}} = n ("segunda capa").
.
 {n\choose {n-p}} = {n\choose p} (simetría respecto ao eixo vertical do triángulo).
.
 {n\choose p} = 0 cando p > n (corresponde á zona fose do triángulo).

E claro, a regra de construción do triángulo dá a relación fundamental dos coeficientes binomiais:

.

 {n\choose p} + {n\choose {p+1}} = {{n+1}\choose {p+1}}

Triángulo de Pascal colores.png

Interpretación en combinatoria[editar | editar a fonte]

Os coeficientes binomiais son a base mesma da combinatoria. Vexamos por que: Tomemos de novo un binomio, por exemplo (a+b)^3, e desarollémoslo, pero dun xeito distinto do parágrafo anterior:

(a+b)^3 = (a+b)\cdot (a+b) \cdot (a+b)

logo quitemos #o\\\ #paréntese\\, pero sen cambiar a orde nos produtos, é dicir sen aplicar a conmutatividade:

 (a+b)\cdot (a+b) \cdot (a+b)= (a a + ab + ba + bb )\cdot (a+b)
 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb \quad

E agrupemos os termos que conteñen o mesmo número de a, (e de b):

 = aaa + (aab + aba + baa) + (abb + bab + bba)  + bbb  \quad

A primeira paréntese contén todas as palabras constituídas dun b e dous a. Neste caso, é fácil ver que hai exactamente tres. No caso xeral, para contar as palabras, hai que aplicar a conmutatividade, pois as palabras que conteñen o mesmo número da e b darán o mesmo termo:

 = 1\cdot a^3  + 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 + 1\cdot b^3
O primeiro factor 3, que é {3 \choose 1} conta as tres palabras mencionadas (aab, aba e baa).
O segundo factor 3, que é {3 \choose 2} conta as palabras feitas de dúas b e un a (abb, bab e bba).

Obviamente, só hai unha palabra de tres letras constituídas de a soamente, e isto corresponde ao monomio 1·a³, con 1 = {3 \choose 0} ( «0 » por ningunha b).

No canto de falar de palabras formadas con a e b, é equivalente imaxinar unha fileira de n caixóns inicialmente baleiros, e p bólas intercambiables que se teñen que repartir, en cada caixón non cabendo máis dunha. Trátase en todos casos de repartir p obxectos entre n sitios posibles, ou de escoller un grupo de p obxectos/sitios entre n obxectos/sitios. De aí a apelación p entre n.

Todo o anterior leva ao teorema:

Hai exactamente {n \choose p} xeitos de escoller un conxunto de p elementos entre n elementos.

En matemática formal, prefírese falar de conxuntos:

Existen {n \choose p} subconjuntos de cardinal p nun conxunto de cardinal n.

Este punto de vista permite achar a fórmula para os coeficientes binomiais. En efecto, para elixir o « primeiro » elemento, hai n posibilidades, logo para escoller o segundo quedan n-1 posibilidades e así sucesivamente ata o elemento número p, que ten n-p+1. A orde no que se elixiu estes p elementos non importa, podíase obter o mesmo subconjunto de p elementos noutra orde. Hai p! permutacións posibles destes p elementos, é dicir p! xeitos de obter o mesmo conxunto.

Xa que logo hai  \frac {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) ... (n-p+1)} {p!} subconjuntos posibles.

En conclusión:

 {n\choose p} = \frac {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) ... (n-p+1)} {p \cdot (p-1) \cdot (p-2) ... 2 \cdot 1} =   \frac {n!} {p! \cdot (n-p)!}

Verifiquémoslo nun exemplo: {5\choose 2} = \frac { 5!} {2! 3!} = \frac {5 \times 4 \times 3 \times 2}  {2 \times 3 \times 2} = 10

No triángulo, o valor na quinta liña e segunda columna é 10. Para rematar, listemos as palabras de cinco letras formadas de 2 a e 5-2 = 3 b (na orde alfabética, ou na orde crecente considerando que a é a cifra 0 e b a cifra 1):
aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa.

A fórmula permite verificar todas as propiedades do parágrafo anterior, con todo pódese prescindir dos cálculos na maioría dos casos, con tal de manipular os conceptos idóneos.

Un subconjunto A de E define unha partición de E en dous partes E = A B ∪ , coa ∩ B = {}= ∅ (conxunto baleiro). Aquí  B = \overline{A} é o complementario da en E.

Dá o mesmo escoller os p elementos da que os n-p elementos de math \overline{A}.

Isto xustifica, sen cálculo, a simetría {n\choose {n-p}} ={ n\choose p}.
Se > p n, non hai subconjuntos de E con p elementos, porque E contén só n, logo  {n\choose p} = 0
Tamén son evidentes as igualdades  {n\choose 1} = n e  {n\choose 0} = 1 porque, no primeiro caso,

hai tantos xeitos de escoller subconjunto de tamaño 1 que de elementos de E, e no segundo caso, só existe un conxunto con cero elemento: o conxunto baleiro.

A regra fundamental tamén ten explicación gráfica:

Proba: escóllese un elemento e calquera de E, que contén n+1 elementos: E = E' ∪ {e}. Logo considéranse os subconjuntos A de E de cardeal p+1. Son de dous tipos: ou conteñen e, ou non.

Se eA, entón falta elixir p elementos de E' para completar A. Hai  {n\choose p} posibilidades.


Se e ∉ A, entón falta elixir p+1 elementos de E' para definir A. Hai  {n\choose {p+1}} posibilidades.

Sumando os dous casos, obtense todos as partes de p+1 elementos de E, constituído de n+1 elementos.

Hai xa que logo  {{n+1}\choose {p+1}} = {n\choose {p+1}}+ {n\choose p}

Un exemplo:

Suma de binomiales figura.png

Aquí vai unha propiedade aritmética, sen interpretación xeométrica: cando n é primo, os coeficientes binomiais na liña n son divisibles por n, excepto os dous bordos da mesma (que valen 1). Escrito formalmente:

Teorema :  \forall p \in [1; n-1] , n / {n\choose p}


Triángulo de Pascal con n primo.png

Na figura, os exemplos están en verde, e os contraejemplos (cando n non é primo e p divide n) en amarelo.

Proba: na fracción \frac {n!} {p! (n-p)!} o factor primo

n aparece unha vez no numerador e xamais no denominador. (O denominador é un produto de números entre 1 e n-1). Xa que logo a fracción é divisible por n.

Xeneralización[editar | editar a fonte]

No canto de considerar as potencias de a + b, pódese mirar as do trinomio a + b + c.
(a + b + c)n é unha suma de monomios da forma λp, q, r ·a sup<>p·bq·cr, con p, q e r positivos, p + q + r = n, e λp, q, r un natural que se tería que chamar coeficiente trinomial.

Os cálculos son similares aos do coeficiente binomial, e dan a expresión seguinte:

 \lambda_{p,q,r} = \frac {n!} {p! q! r!}

Corresponde ao número de partición en tres dun conxunto de n elementos, en subconjuntos de p, q e r elementos. Un exemplo:

Pirámide de Pascal.png

Estes coeficientes pódense achar na analogía tridimensional do triángulo de Pascal: Poderíase chamar a pirámide de Pascal, é tamén infinita, con seccións triangulares, e o valor en cada casa é a suma dos valores das tres casas encima dela.
Debuxouse as primeiras seccións a partir do cume.
Obsérvase unha invariance por rotación de 120 graos ao redor dun eixo vertical que pasa polo vértice.
O triángulo de Pascal aparece nas tres caras da pirámide.

Está claro que todo isto pódese xeneralizar a calquera dimensión finita, pero sen a posibilidade de facer debuxos explicativos.