Regra do produto (cálculo)

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente:

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,$

Ou usando a notación de Leibniz:

${d \over dx}(u\cdot v)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}$

Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

Demostración

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

$f(x)=g(x)h(x)\,$

supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}$

Como

$g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),$

tense que

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]$

Como h é continua en x, tense que

$\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)$

e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que

$\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]=h'(x)$ e $\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]=g'(x)$

Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]$

$=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]$

$=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,$

Exemplo

Supoñendo que se quere derivar:

$f(x)=x^{2}\,\sin(x)$

Usando a regra do produto, obtense a derivada:

$f^{\prime }(x)=2x\,\sin(x)+x^{2}\,\cos(x)$

xa que a derivada de $x^{2}\,$ é $2x\,$

e a derivada de $\sin(x)\,$ é $\cos(x)\,$.

Regra xeneralizada do produto

Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto. Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto $f\cdot g$ vén dada por:

$(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

onde ${n \choose k}$ é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Product Rule, en Math World (en inglés)