Regra do produto (cálculo)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente:

Ou usando a notación de Leibniz:

Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

Demostración[editar | editar a fonte]

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo

Como

tense que

Como h é continua en x, tense que

e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que

e

Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Supoñendo que se quere derivar:

Usando a regra do produto, obtense a derivada:

xa que a derivada de é
e a derivada de é .

Regra xeneralizada do produto[editar | editar a fonte]

Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto. Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto vén dada por:

onde é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]