Polinomios de Chebyshev

Os polinomios de Chebyshev son dúas secuencias de polinomios relacionadas coas funcións coseno e seno, escritas como $T_{n}(x)$ e $U_{n}(x)$. Pódense definir de varias formas equivalentes, unha das cales comeza con funcións trigonométricas:

Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo $T_{n}$ están definidos por:

$$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).$$

Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo $U_{n}$ están definidos por:

$$U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.$$

Que estas expresións definen polinomios en $\cos \theta$ pode non ser obvio a primeira vista, mais conséguese escribindo $\cos(n\theta )$ e $\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}$ coa fórmula de de Moivre ou mediante as fórmulas de suma de ángulos para $\cos$ e $\sin$ repetidamente. Por exemplo, coas fórmulas de ángulo duplo, obtemos $T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1$ e $U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta$, que son respectivamente un polinomio en $\cos \theta$ e un polinomio en $\cos \theta$ multiplicado por $\sin \theta$. De aí $T_{2}(x)=2x^{2}-1$ e $U_{1}(x)=2x$.

Unha propiedade importante e conveniente dos T_n(x) é que son ortogonais con respecto ao produto interno:

$$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},$$

e os U_n(x) son ortogonais con respecto a outro produto interno análogo, que se indica máis abaixo.

Os polinomios de Chebyshev T_n son polinomios co maior coeficiente posible cuxo valor absoluto no intervalo [−1, 1] está limitado por 1. Tamén son os polinomios "extremos" de moitas outras propiedades.

En 1952, Cornelius Lanczos demostrou que os polinomios de Chebyshev son importantes na teoría da aproximación para a solución de sistemas lineares; as raíces de T_n(x), que tamén se denominan nós de Chebyshev, úsanse como puntos de correspondencia para optimizar a interpolación polinómica. O polinomio de interpolación resultante minimiza o problema do fenómeno de Runge e proporciona unha aproximación que se aproxima á mellor aproximación polinómica a unha función continua baixo a norma máxima, tamén chamada criterio minimax. Esta aproximación leva directamente ao método da cuadratura de Clenshaw-Curtis.

Estes polinomios recibiron o nome de Pafnuty Chebyshev A letra T úsase polas transliteracións alternativas do nome Chebyshev como Tchebycheff, Tchebyshev(francés) ou Tschebyschow (alemán).

Definicións

Definición de recorrencia

Gráfico dos primeiros cinco polinomios T_n de Chebyshev (primeiro tipo)

Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo obtéñense da relación de recorrencia:

$${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

A recorrencia permite tamén unha representación explícita como o determinante dunha matriz tridiagonal de tamaño $k\times k$ :

$$T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}$$

A función xeradora ordinaria ven dada por

$$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$$

A función xeradora exponencial é:

$$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$$

Gráfico dos primeiros cinco polinomios U_n de Chebyshev (segundo tipo)

Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo están definidos por unha relación de recorrencia:

$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Observemos que os dous conxuntos de relacións de recorrencia son idénticos, agás $T_{1}(x)=x$ versus $U_{1}(x)=2x$.

A función xeradora ordinaria para U_n é:

$$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},$$

e a función xeradora exponencial é:

$$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).$$

Definición trigonométrica

Como se describe na introdución, os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo poden definirse como os polinomios únicos que satisfán:

$$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$$

ou, noutras palabras, como os únicos polinomios que satisfán:

$$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}$$

Os polinomios do segundo tipo satisfán:

$$U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),$$

que ven sendo

$$U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},$$

para n = 0, 1, 2, 3, ….

Os polinomios de Chebyshev pódense definir desta forma cando se estudan polinomios trigonométricos.. Dita forma ten unha estrutura bastante semellante ao núcleo de Dirichlet

$$D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).$$

(O núcleo de Dirichlet, de feito, coincide co que agora se coñece como o polinomio de Chebyshev do cuarto tipo).

Unha forma equivalente de ver isto é mediante a exponenciación dun número complexo, dado un número complexo z = a + bi con valor absoluto de 1:

$$z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).$$

Que cos nx é un polinomio de grao n en cos x pódese ver observando que cos nx é a parte real do lado dereito da fórmula de Moivre:

$$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$$

A parte real é un polinomio en cos x e sin x, no que todas as potencias de sin x son pares e así substituíbles mediante a identidade cos² x + sin² x = 1. Polo mesmo razoamento, sin nx é a parte imaxinaria do polinomio, na que todas as potencias de sin x son impares e, polo tanto, se se factoriza un factor de sin x, os restantes factores pódense substituír para crear un polinomio de grao (n−1) en cos x.

Definición mediante a ecuación de Pell

Podemos definir os polinomios de Chebyshev como as solucións da ecuación de Pell :

$$T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1$$

nun anel R[x]. Así, pódense xerar mediante a técnica estándar para as ecuacións de Pell de toma de potencias dunha solución fundamental:

$$T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.$$

Relacións entre os dous tipos de polinomios de Chebyshev

Os polinomios de Chebyshev do primeiro e do segundo tipo corresponden a un par complementario de secuencias de Lucas Ṽ_n(P, Q) e Ũ_n(P, Q) cos parámetros P = 2x e Q = 1:

$${\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}$$

Así conseguimos tamén un par de ecuacións de recorrencia mutua:

$${\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}$$

Podemos reorganizar o segundo usando a definición de recorrencia para os polinomios de Chebyshev do segundo tipo para dar:

$$T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.$$

Usando iterativamente esta ecuación dá a fórmula da suma:

$$U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)+1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}$$

aquí substituímos $U_{n}(x)$ e $U_{n-2}(x)$ utilizando a fórmula da derivada para $T_{n}(x)$ dá a relación de recorrencia para a derivada de $T_{n}$:

$$2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots$$

Os polinomios de Chebyshev cumpren as desigualdades de Turán coa seguinte expresión:

$${\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}$$

As relacións con integrais son

$${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}$$

onde as integrais son consideradas como valor principal.

Expresións explícitas

Diferentes enfoques para definir os polinomios de Chebyshev conducen a diferentes expresións explícitas. A definición trigonométrica dá unha fórmula explícita como segue:

$${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ para }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ para }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ para }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}$$

A partir desta forma trigonométrica, podemos calcular a recorrencias con condicións iniciais:

$$T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1$$

$$T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,$$

e tendo en conta que a identidade trigonométrica de produto a suma cumpre:

$$2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .$$

Usando a definición de exponenciación de números complexos dos polinomios de Chebyshev, pódese obter as seguintes expresións equivalentes:

$$T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ para }}~x\in \mathbb {R}$$

$$T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ para }}~x\in \mathbb {R}$$

As dúas son equivalentes porque $(x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1$.

Tamén temos unha expresión con monomios x^k que se obtén da fórmula de Moivre:

$$T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),$$

onde Re denota a parte real. Se expandimos a fórmula, obtemos:

$$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .$$

A parte real obtense cos sumandos dos índices pares. Decatándonos de que $i^{2j}=(-1)^{j}$ e $\sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}$, obtemos a fórmula explícita:

$$\cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,$$

que representa:

$$T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.$$

E á súa vez pode ser escrita como unha función hiperxeométrica ₂F₁:

$${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ para }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ para }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}$$

e os seus inversos:

$$x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),$$

onde a vírgual da suma indica que para j = 0 toma a metade do valor.

Relacionado con isto T_n como suma de monomios con coeficientes binomiais e potencias de 2 é

$$T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.$$

U_n tamén pode expresarse como unha función hiperxeométrica:

$${\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ para }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ para }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ para }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}$$

Propiedades

Simetría

$${\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ para }}~n~{\text{ par}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ para }}~n~{\text{ impar}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ para }}~n~{\text{ par}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ para }}~n~{\text{ impar}}\end{cases}}\end{aligned}}$$

Raíces e extremos

Un polinomio de Chebyshev de calquera tipo con grao n ten n raíces simples diferentes, chamadas raíces de Chebyshev, no intervalo [ −1, 1]. Usando a definición trigonométrica e o feito de que:

$$\cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0$$

pódese demostrar que as raíces de T_n son:

$$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$$

As raíces de U_n son:

$$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$$

os máximos e mínimos de T_n no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 son:

$$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.$$

Unha propiedade única dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo é que no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 todos os extremos teñen valores que son −1 ou 1. Tanto o primeiro como o segundo tipo de polinomio de Chebyshev teñen extremos nos puntos finais, dados por:

$${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$$

Os extremos de $T_{n}(x)$ no intervalo $-1\leq x\leq 1$ están situados en $n+1$ valores de $x$. Son $\pm 1$, ou $\cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)$ onde $d>2$, $d\;|\;2n$, $0<k<d/2$ e $(k,d)=1$, é dicir, $k$ e $d$ son números coprimos.

Diferenciación e integración

Ao diferenciar os polinomios nas súas formas trigonométricas, pódese demostrar que:

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}$$

Para a derivada p do polinomio n nos puntos $\pm 1$ temos

$$\left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,$$

que é de gran utilidade na resolución numérica de problemas de valores propios.

En canto á integración, a derivada primeira de T_n implica que:

$$\int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}$$

a maiores a relación de recorrencia para os polinomios de primeiro tipo que inclúen derivadas establece que para n ≥ 2:

$$\int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.$$

Podemos manipular a última fórmula para expresar a integral de T_n só en función dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo:

$${\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}$$

Ademais, temos:

$$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}$$

Propiedades de composición e divisibilidade

As definicións trigonométricas de T_n e U_n implican a composición ou propiedades de aniñamento:

$${\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Para T_mn a orde de composición pódese inverter, e conseguimos que as funcións polinómicas T_n sexan un semigrupo conmutativo baixo composición.

Dado que T_m(x) é divisible por x se m é impar, deducimos que T_mn(x) é divisible por T_n(x) se m é impar. Alén diso, U_mn−1(x) é divisible por U_n−1(x), e para o caso de que m sexa par, é divisible por T_n(x)U_n−1(x).

Ortogonalidade

Tanto T_n como U_n forman unha secuencia de polinomios ortogonais. Os polinomios do primeiro tipo T_n son ortogonais con respecto ao peso:

$${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$$

no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:

$$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ se }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ se }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ se }}~n=m\neq 0.\end{cases}}$$

Isto pódese probar con x = cos θ e usando a identidade da definición T_n(cos θ) = cos(nθ) .

Do mesmo xeito, os polinomios U_n son ortogonais con respecto ao peso:

$${\sqrt {1-x^{2}}}$$

no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:

$$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ se }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ se }}~n=m.\end{cases}}$$

(Con unha constante normalizadora √1 − x² dx é a distribución do semicírculo de Wigner).

Estas propiedades de ortogonalidade danse porque os polinomios de Chebyshev resolven as ecuacións diferenciais de Chebyshev:

$${\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}$$

que son ecuacións diferenciais de Sturm-Liouville. É unha característica xeral destas ecuacións diferenciais que hai un conxunto significativo de solucións ortonormais.

O T_n tamén satisfai unha condición de ortogonalidade discreta:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ se }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ se }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ se }}~i=j\neq 0,\end{cases}}$$

onde o número N é calquera enteiro maior que max(i, j), e x_k son os N nós de Chebyshev (ver arriba) de T_N(x) :

$$x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ para }}~k=0,1,\dots ,N-1.$$

Para os polinomios U_n e calquera número enteiro N > i + j cos mesmos nós de Chebyshev x_k, hai sumas similares:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ se }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ se }}~i=j,\end{cases}}$$

e sen a función de peso:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ se }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ se }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$$

Para todo número enteiro N > i + j, baseado nos N ceros de U_N(x):

$$y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ para}}~k=0,1,\dots ,N-1,$$

pódese obter a suma:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ se }}i=j,\end{cases}}$$

e de novo sen a función de peso:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ se }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ se }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$$

Exemplos

Primeiro tipo

Os primeiros polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son (secuencia A053120 na OEIS)

$${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}$$

Segundo tipo

Os primeiros polinomios de Chebyshev do segundo tipo son (secuencia A053117 na OEIS)

$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\end{aligned}}$$

Como conxunto de bases

No espazo de Sobolev apropiado, o conxunto de polinomios de Chebyshev forma unha base ortonormal, de xeito que unha función no mesmo espazo pode, en −1 ≤ x ≤ 1, expresarse mediante a expansión:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).$$

Os polinomios de Chebyshev forman unha base ortogonal que implica que os coeficientes a_n poden determinarse facilmente mediante a aplicación dun produto interno. Esta suma chámase unha serie de Chebyshev ou unha expansión de Chebyshev .

Unha serie de Chebyshev está relacionada cunha serie coseno de Fourier mediante un cambio de variables. Así todos os teoremas, identidades, etc. que se aplican ás series de Fourier teñen unha contraparte de Chebyshev. Estes atributos inclúen:

A abundancia de teoremas e identidades herdados das series de Fourier fan que os polinomios de Chebyshev sexan ferramentas importantes na análise numérica; por exemplo, son as funcións básicas de propósito xeral máis populares utilizadas no método espectral, moitas veces máis favorables que as series trigonométricas debido á converxencia xeralmente máis rápida para funcións continuas (o fenómeno de Gibbs segue sendo un problema).

Exemplo 1

Vemos a expansión de Chebyshev de log(1 + x):

$$\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.$$

Podemos atopar os coeficientes a_n mediante a aplicación dun produto interno ou pola condición de ortogonalidade discreta. Para o produto interno:

$$\int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,$$

que dá:

$$a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ para }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ para }}~n>0.\end{cases}}$$

Como alternativa, cando non se pode avaliar o produto interno da función que se está a aproximar, a condición de ortogonalidade discreta dá un resultado frecuentemente útil para obter os coeficientes aproximados:

$$a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),$$

onde o δ_ij é a función delta de Kronecker e os x_k son os N ceros de Gauss–Chebyshev de T_N(x) :

$$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).$$

Así podemos calcular os coeficientes aproximados a_n de forma moi eficiente mediante a transformada do coseno discreta:

$$a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).$$

Exemplo 2

Para poñer outro exemplo:

$${\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}$$

Sumas parciais

As sumas parciais de:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)$$

son moi útiles na aproximación de varias funcións e na resolución de ecuacións diferenciais (ver método espectral). Dous métodos comúns para determinar os coeficientes a_n son o uso do produto interno como no método de Galerkin e o uso da colocación que está relacionada coa interpolación.

Como interpolante, os N coeficientes das (N − 1) primeiras sumas parciales adoitan obterse nos puntos Chebyshev–Gauss–Lobatto (ou retícula de Lobatto), o que resulta nun erro mínimo e evita o fenómeno de Runge asociado a unha retícula uniforme. Esta colección de puntos ven dada por:

$$x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.$$

Familias de polinomios relacionados cos polinomios de Chebyshev

Moitas veces son usados os polinomios denotados como $C_{n}(x)$ e $S_{n}(x)$ relacionados cos de Chebyshev do seguinte modo:

$$C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)$$

(secuencia A049310 na OEIS) e satisfai:

$$C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).$$

AF Horadam chamou aos polinomios $C_{n}(x)$ Polinomios de Vieta–Lucas con nomenclatura $v_{n}(x)$ e chamou aos $S_{n}(x)$ Polinomios de Vieta–Fibonacci con nomenclatura $V_{n}(x)$. As listas dos dous conxuntos de polinomios aparecen na Opera Mathematica de Viète, capítulo IX, teoremas VI e VII. Os polinomios de Vieta–Lucas e Vieta–Fibonacci do argumento real son, ata unha potencia de $i$ e un desprazamento de índice no caso deste último, igual aos polinomios de Lucas e Fibonacci L_n e F_n de argumento imaxinario.

Véxase tamén

Bibliografía

• Dette, Holger (1995). A note on some peculiar nonlinear extremal phenomena of the Chebyshev polynomials. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 38. pp. 343–355. arXiv:math/9406222. doi:10.1017/S001309150001912X. 
• Elliott, David (1964). The evaluation and estimation of the coefficients in the Chebyshev Series expansion of a function. Math. Comp. 18. pp. 274–284. MR 0166903. doi:10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7. 
• Eremenko, A.; Lempert, L. (1994). An Extremal Problem For Polynomials (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society 122. pp. 191–193. MR 1207536. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1. 
• Hernandez, M. A. (2001). Chebyshev's approximation algorithms and applications. Computers & Mathematics with Applications 41. pp. 433–445. doi:10.1016/s0898-1221(00)00286-8. 
• Mason, J. C. (1984). "Some properties and applications of Chebyshev polynomial and rational approximation". Rational Approximation and Interpolation. Lecture Notes in Mathematics 1105. pp. 27–48. ISBN 978-3-540-13899-0. doi:10.1007/BFb0072398. 
• Mason, J. C.; Handscomb, D.C. (2002). Chebyshev Polynomials. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-3611-4. doi:10.1201/9781420036114. 

• Mathar, Richard J. (2006). Chebyshev series expansion of inverse polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics 196. pp. 596–607. Bibcode:2006JCoAM.196..596M. arXiv:math/0403344. doi:10.1016/j.cam.2005.10.013. 
• Remes, Eugene. "On an Extremal Property of Chebyshev Polynomials" (PDF). 
• Salzer, Herbert E. (1976). Converting interpolation series into Chebyshev series by recurrence formulas. Mathematics of Computation 30. pp. 295–302. MR 0395159. doi:10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3. 
• Scraton, R.E. (1969). The Solution of integral equations in Chebyshev series. Mathematics of Computation 23. pp. 837–844. MR 0260224. doi:10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4. 
• Smith, Lyle B. (1966). Computation of Chebyshev series coefficients. Comm. ACM 9. pp. 86–87. doi:10.1145/365170.365195. Algorithm 277. 

Outros artigos

• Filtro de Chebyshev
• Polinomios de Hermite
• O sistema Chebfun
• Transformada discreta de Chebyshev
• Algoritmo de Clenshaw

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Chebyshev polynomial[s] of the first kind". MathWorld. 
• Mathews, John H. (2003). "Module for Chebyshev polynomials". Department of Mathematics. Course notes for Math 340 Numerical Analysis & Math 440 Advanced Numerical Analysis. Fullerton, CA: California State University. Arquivado dende o orixinal o 2007-05-29. 
• "Chebyshev interpolation: An interactive tour". Mathematical Association of America (MAA)  – includes illustrative Java applet.
• "Numerical computing with functions". The Chebfun Project. 
• "Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?". Math Overflow. Question 25534. 
• "Chebyshev polynomial evaluation and the Chebyshev transform". Boost. Math.