Codominio

Imaxe dunha función f de dominio X e codominio Y. O óvalo pequeno dentro do codominio sería o rango de f.

Nas matemáticas, o codominio ou contradominio é o conxunto final ou conxunto de chegada dunha función $f\colon X\to Y\,$; é o conxunto $Y\,$ que participa na función, e anótase como $Cod_{f}\,$ , $C_{f}\,$ ou ${\rm {{codom}(f)\,}}$.

Sexa $Im_{f}\,$ a imaxe dunha función $f\,$, entón $Im_{f}\subseteq C_{f}$.

Exemplos

• Para unha función

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

definida por

$f\colon \,x\mapsto x^{2},$ ou de xeito equivalente $f(x)\ =\ x^{2},$

o codominio de f é $\textstyle \mathbb {R}$, mais f non se asigna a ningún número negativo. Así, a imaxe de f é o conxunto $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$; é dicir, o intervalo $[0,\infty )$.

• Se definimos a función g de forma similar modificando o codominio:

$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$

$g\colon \,x\mapsto x^{2}.$

Aínda que f e g asignan un determinado x ao mesmo número, deste xeito non son a mesma función porque teñen codominios diferentes.

• Definimos unha terceira función h que mostra o motivo do codominio anterior:

$h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.$

O dominio de h non pode ser $\textstyle \mathbb {R}$ (porque as reaíces de números negativos non teñen resultado nos números reais) mais pódese definir como $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$:

$h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .$

• Indícanse as composicións.

$h\circ f,$

$h\circ g.$

Analizando con estas composicións os exemplos anteriores vemos que h ∘ f non é útil. É posíbel que h, cando se compón con f, poida recibir un argumento para o cal non se define ningunha saída: os números negativos non son elementos do dominio de h, que é a función da raíz cadrada.

A composición de funcións, polo tanto, é unha noción útil só cando o codominio da función no lado dereito dunha composición (non a súa imaxe, que é unha consecuencia da función e podería ser descoñecida no nivel da composición) é un subconxunto do dominio da función no lado esquerdo.

A maiores, o codominio afecta se unha función é unha sobrexección, xa que a función é sobrexectiva se e só se o seu codominio é igual á súa imaxe. No exemplo, g é unha sobrexección mentres que f non. O codominio non afecta a se unha función é unha inxección.

Véxase tamén

Outros artigos

• Dominio
• Imaxe