Derivación (matemática)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.
Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.
Derivación.

A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivación[editar | editar a fonte]

Sexa unha variedade diferenciábel e , chamaremos derivación no punto a

aplicación lineal, é dicir:
, ,
  • ,
  • .
e tal que , , é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

Observación

é o conxunto de funcións diferenciábeis en , e é un álxebra conmutativa, (é un espazo vectorial).
é equivalente a , é dicir, avaliado no punto .

Exemplos de derivación[editar | editar a fonte]

A derivada parcial[editar | editar a fonte]

Sexa e , vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

Demostración:

Vexamos primeiro que é lineal, é dicir, que e vemos que:
  • ,
  • .
Vexamos finalmente que é unha derivación:
.
Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

A derivada direccional[editar | editar a fonte]

Sexa , e , pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

.

Definicións[editar | editar a fonte]

Plano tanxente.

Sexa unha variedade diferenciábel e , chamaremos espazo tanxente a en ao espazo vectorial das derivacións de en , notado por , e os sus elementos chamaranse vectores tanxentes a en .

Consecuencias[editar | editar a fonte]

Propiedade da derivación dunha función localmente constante[editar | editar a fonte]

Sexa unha variedade diferenciábel, , e tal que contorno aberto en onde , , entón temos que .

Demostración:

Por linealidade de temos
,
aquí, aplicando a condición de derivación a temos
,
de simplificar este último, resulta , aplicándoo ao anterior resulta que .

Exemplo[editar | editar a fonte]

Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase :

  • a función meseta asociada a , onde compacto cuxo interior contén a .

Propiedade da derivación do produto coa función meseta[editar | editar a fonte]

Sexa unha variedade diferenciábel, , , e unha función meseta asociada a , temos que:

.

Demostración:

Aplicando a regra de Leibniz temos que , pola propiedade anterior temos que

Propiedade[editar | editar a fonte]

Sexa unha variedade diferenciábel, e tal que contorno aberto en onde , entón temos que:

.

Demostración:

Sexa unha función meseta asociada a , temos así que en todo tamén por tanto , e pola propiedade anterior temos que .

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.