Vector unitario

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En álxebra linear e física, un vector unitario ou versor é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén vector normalizado.

Notación[editar | editar a fonte]

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como \mathbf{\hat r} (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve (\mathbf{\breve r} \,) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector \mathbf r \, na forma \mathbf u_{\text{r}} \,.

Definición[editar | editar a fonte]

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector v ∈ ℝn. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante \mathbf{\hat v} se e só se o módulo de v é igual a 1.

Ou en forma máis compacta:

\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \Rightarrow \mathbf{v} \equiv \mathbf{\hat v} \Leftrightarrow | \mathbf{v} | = 1

Versor asociado a un vector[editar | editar a fonte]

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado \mathbf v\,. A tal vector denomínase versor asociado ao vector \mathbf v\, e pódese representar ben sexa por \hat\mathbf v\, ou por \mathbf u_v\, e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular \hat\mathbf v\, é a división do vector entre o seu módulo.

\mathbf{\hat v} = \frac{\vec\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

Produto escalar de dous vectores[editar | editar a fonte]

No espazo euclídeo, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = | \mathbf{\hat u} | | \mathbf{\hat v} | \cos \theta

Pero como:

| \mathbf{\hat u} | = | \mathbf{\hat v} | = 1

Entón:

\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = \cos \theta

onde θ é o ángulo entre ambos vectores.

Proxección escalar[editar | editar a fonte]

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | | \mathbf{\hat n} | \cos \theta

Como o módulo do vector \mathbf{\hat n} é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | \cos \theta

de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Vectores cartesianos[editar | editar a fonte]

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos x,\,y,\,z\, desígnanse por \mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k\,, respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector {\mathbf v = (1,-2,3)\,} é

{\mathbf v =\mathbf i -2\mathbf j +3\mathbf k}