Produto vectorial

En matemática, o produto vectorial é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como produto externo ou produto cruz. O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.

Definición

A notación do produto vectorial entre dous vectores a e b é a × b (en manuscritos, algúns matemáticos escriben a ∧ b para evitar a confusión coa x). Podemos definilo como:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| sen \theta$

onde θ é a medida do ángulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e n é o vector unitario perpendicular a tanto a canto b.

O problema con esta definición é que existen dous vectores unitarios que son perpendiculares a a e b simultaneamente: se n é perpendicular, entón −n tamén o é.

O resultado correcto depende da orientación do espazo vectorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vectorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é "a dereitas" ou zurdo se (i, j, k) é "a esquerdas".

Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.

Sexan dous vectores $\mathbf a$ e $\mathbf b$ no espazo vectorial $\mathbb{R}^3$. O produto vectorial entre $\mathbf a\,$ e $\mathbf b\,$ dá como resultado un novo vector, $\mathbf c\,$. Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:

• O módulo de $\mathbf c\,$ está dado por

$c = a \, b \, \sin\theta$

onde θ é o ángulo determinado polos vectores a e b.

• A dirección do vector c, que é ortogonal a a e ortogonal a b, está dada pola regra da man dereita.

Produto vectorial de dous vectores

Sexan $\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k$ e $\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k$ dous vectores concorrentes de $\mathbb{R}^3$, o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.

Defínese o produto $\times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$, e escríbese $\mathbf u \times \mathbf v$, como o vector:

$\mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i - \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j + \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k$

No que

$\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$, é o determinante de orde 2.

Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):

$\mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k$

Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de $\mathbf u \times \mathbf v$ é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.

Exemplo

O produto vectorial dos vectores $\mathbf a = (2,0,1)$ e $\mathbf b = (1,-1,3)$ calcúlase do seguinte xeito:

$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix}$

Expandindo o determinante:

$\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} + \mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} = \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k$

Pode verificarse facilmente que $\mathbf a \times \mathbf b$ é ortogonal aos vectores $\mathbf a$ e $\mathbf b$ efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).

Véxase tamén

• Produto escalar
• Álxebra linear